Cálculo Exemplos

$f (x) = \tan (x) \cos (x)$

Etapa 1

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 2

Encontre os componentes da definição.

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Etapa 2.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = \tan (x + h) \cos (x + h)$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $\tan (x + h) \cos (x + h)$ em termos de senos e cossenos.

$f (x + h) = \frac{\sin (x + h)}{\cos (x + h)} \cdot \cos (x + h)$

Etapa 2.1.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Etapa 2.2

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Etapa 3

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Etapa 4

Use a sum or difference formula on the numerator.

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Etapa 4.1

Use a fórmula da soma do seno para simplificar a expressão. A fórmula determina que $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Etapa 4.2

Remova os parênteses.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h)) - (\sin (x))}{h}$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $\sin (x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x) \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o termo $\sin (x)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{\sin (x) lim_{h \to 0} \cos (h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (x) \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.4

Mova o termo $\cos (x)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \sin (h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.6

Avalie o limite de $\sin (x)$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sin (x) \cos (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 5.1.2.7.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.7.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{\sin (x) \cos (0) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.2.8.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{\sin (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.8.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \sin (0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.8.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\sin (x) + \cos (x) \cdot 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.8.1.4

Multiplique $\cos (x)$ por $0$ .

$\frac{\sin (x) + 0 - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.8.2

Combine os termos opostos em $\sin (x) + 0 - \sin (x)$ .

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Etapa 5.1.2.8.2.1

Some $\sin (x)$ e $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.2.8.2.2

Subtraia $\sin (x)$ de $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)$ com relação a $h$ é $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3

Avalie $\frac{d}{d h} [\sin (x) \cos (h)]$ .

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Etapa 5.3.3.1

Como $\sin (x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $\sin (x) \cos (h)$ em relação a $h$ é $\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) \frac{d}{d h} [\cos (h)] + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.3.2

A derivada de $\cos (h)$ em relação a $h$ é $- \sin (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.4

Avalie $\frac{d}{d h} [\cos (x) \sin (h)]$ .

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Etapa 5.3.4.1

Como $\cos (x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $\cos (x) \sin (h)$ em relação a $h$ é $\cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \frac{d}{d h} [\sin (h)] + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.4.2

A derivada de $\sin (h)$ em relação a $h$ é $\cos (h)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + \frac{d}{d h} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.5

Como $- \sin (x)$ é constante em relação a $h$ , a derivada de $- \sin (x)$ em relação a $h$ é $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.6

Simplifique.

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Etapa 5.3.6.1

Some $\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)$ e $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x) (- \sin (h)) + \cos (x) \cos (h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.6.2

Reordene os termos.

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Etapa 5.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ é $n h^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)}{1}$

Etapa 5.4

Divida $- \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$ por $1$ .

$lim_{h \to 0} - \sin (h) \sin (x) + \cos (h) \cos (x)$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$- lim_{h \to 0} \sin (h) \sin (x) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Etapa 6.2

Mova o termo $\sin (x)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \sin (x) lim_{h \to 0} \sin (h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Etapa 6.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + lim_{h \to 0} \cos (h) \cos (x)$

Etapa 6.4

Mova o termo $\cos (x)$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) lim_{h \to 0} \cos (h)$

Etapa 6.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$- \sin (x) \sin (lim_{h \to 0} h) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (lim_{h \to 0} h)$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$- \sin (x) \sin (0) + \cos (x) \cos (0)$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \sin (x) \cdot 0 + \cos (x) \cos (0)$

Etapa 8.1.2

Multiplique $- \sin (x) \cdot 0$ .

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Etapa 8.1.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0 \sin (x) + \cos (x) \cos (0)$

Etapa 8.1.2.2

Multiplique $0$ por $\sin (x)$ .

$0 + \cos (x) \cos (0)$

Etapa 8.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$0 + \cos (x) \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$0 + \cos (x)$

Etapa 8.2

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 9