Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{x - 2}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.1.4

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{2 \cdot 2} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{4} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 2}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{0}{2 - 2}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{\sqrt{2 x} - 2}{x - 2} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{2 x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x}$ como ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.3

Aplique a regra do produto a $2 (x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $2^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.12

Combine $2^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.13

Mova $2^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.15

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.3.15.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 1.3.3.15.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.15.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.15.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.15.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.3.15.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.5

Some $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x - 2]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 1.5.1

Reescreva $2^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 1.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}} \cdot 1$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}} \cdot 1$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2 x}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{2 x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{2 x}}$

Etapa 2.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 2 x}}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 lim_{x \to 2} x}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 2}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 4.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{2}$

Forma decimal:

$0.5$