Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{8 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = x \sqrt{8 - x^{2}}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{8 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$8 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 8$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 8$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 8}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 8$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 8$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{8}$

Etapa 1.2.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{8}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique $\sqrt{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Fatore $4$ de $8$ .

$| x | \leq \sqrt{4 (2)}$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq | 2 | \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$| x | \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5

Escreva $| x | \leq 2 \sqrt{2}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.2.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.2.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq 2 \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq 2 \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.2.6

Encontre a intersecção de $x \leq 2 \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 1.2.7

Resolva $- x \leq 2 \sqrt{2}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Divida cada termo em $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq 2 \sqrt{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.2.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.2.7.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2 \sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot (2 \sqrt{2})$

Etapa 1.2.7.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot (2 \sqrt{2})$ como $- (2 \sqrt{2})$ .

$x \geq - (2 \sqrt{2})$

Etapa 1.2.7.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x \geq - 2 \sqrt{2}$

Etapa 1.2.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - 2 \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- 2 \sqrt{2} \leq x < 0$

Etapa 1.2.8

Encontre a união das soluções.

$- 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Notação de intervalo:

$[- 2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - 2 \sqrt{2} \leq x \leq 2 \sqrt{2}}$

Etapa 2

Para encontrar os pontos finais, substitua os limites dos valores de $x$ do domínio em $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2 \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- 2 \sqrt{2}) = (- 2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - ({(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Etapa 2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- (4 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Etapa 2.2.4

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Etapa 2.2.5

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2 \sqrt{2}) = - 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 2$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Etapa 2.2.7.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (- 2 \sqrt{2}) = 0$

Etapa 2.2.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Substitua a variável $x$ por $2 \sqrt{2}$ na expressão.

$f (2 \sqrt{2}) = (2 \sqrt{2}) \sqrt{8 - {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (2^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 2.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 2.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 2.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 2.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Etapa 2.4.2.5

Avalie o expoente.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - (4 \cdot 2)}$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- (4 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{8 - 8}$

Etapa 2.4.4

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0}$

Etapa 2.4.5

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (2 \sqrt{2}) = 2 \sqrt{2} \cdot 0$

Etapa 2.4.7

Multiplique $2 \sqrt{2} \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.7.1

Multiplique $0$ por $2$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Etapa 2.4.7.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (2 \sqrt{2}) = 0$

Etapa 2.4.8

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

Os pontos finais são $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$ .

$(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0)$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ a partir do domínio. É mais útil selecionar os valores de forma que fiquem próximos do valor $x$ do ponto final da expressão com radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $- 1.82842712$ em $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1.82842712, - 3.94569924)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.82842712$ na expressão.

$f (- 1.82842712) = (- 1.82842712) \sqrt{8 - {(- 1.82842712)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 1.82842712$ à potência de $2$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 3.34314575}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3.34314575$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{8 - 3.34314575}$

Etapa 4.1.2.1.3

Subtraia $3.34314575$ de $8$ .

$f (- 1.82842712) = - 1.82842712 \sqrt{4.65685424}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1.82842712$ por $\sqrt{4.65685424}$ .

$f (- 1.82842712) = - 3.94569924$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 3.94569924$ .

$y = - 3.94569924$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $- 0.82842712$ em $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 0.82842712, - 2.24038746)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.82842712$ na expressão.

$f (- 0.82842712) = (- 0.82842712) \sqrt{8 - {(- 0.82842712)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 0.82842712$ à potência de $2$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.6862915}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.6862915$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{8 - 0.6862915}$

Etapa 4.2.2.1.3

Subtraia $0.6862915$ de $8$ .

$f (- 0.82842712) = - 0.82842712 \sqrt{7.31370849}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 0.82842712$ por $\sqrt{7.31370849}$ .

$f (- 0.82842712) = - 2.24038746$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $- 2.24038746$ .

$y = - 2.24038746$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $0.17157287$ em $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Nesse caso, o ponto é $(0.17157287, 0.48438771)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $0.17157287$ na expressão.

$f (0.17157287) = (0.17157287) \sqrt{8 - {(0.17157287)}^{2}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $0.17157287$ à potência de $2$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 0.02943725}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.02943725$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{8 - 0.02943725}$

Etapa 4.3.2.1.3

Subtraia $0.02943725$ de $8$ .

$f (0.17157287) = 0.17157287 \sqrt{7.97056274}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $0.17157287$ por $\sqrt{7.97056274}$ .

$f (0.17157287) = 0.48438771$

Etapa 4.3.2.3

A resposta final é $0.48438771$ .

$y = 0.48438771$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $1.17157287$ em $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Nesse caso, o ponto é $(1.17157287, 3.01607027)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $1.17157287$ na expressão.

$f (1.17157287) = (1.17157287) \sqrt{8 - {(1.17157287)}^{2}}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Eleve $1.17157287$ à potência de $2$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 1.372583}$

Etapa 4.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1.372583$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{8 - 1.372583}$

Etapa 4.4.2.1.3

Subtraia $1.372583$ de $8$ .

$f (1.17157287) = 1.17157287 \sqrt{6.62741699}$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $1.17157287$ por $\sqrt{6.62741699}$ .

$f (1.17157287) = 3.01607027$

Etapa 4.4.2.3

A resposta final é $3.01607027$ .

$y = 3.01607027$

Etapa 4.5

Substitua o valor $x$ $2.17157287$ em $f (x) = x \sqrt{8 - x^{2}}$ . Nesse caso, o ponto é $(2.17157287, 3.93544563)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Substitua a variável $x$ por $2.17157287$ na expressão.

$f (2.17157287) = (2.17157287) \sqrt{8 - {(2.17157287)}^{2}}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1.1

Eleve $2.17157287$ à potência de $2$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 1 \cdot 4.71572875}$

Etapa 4.5.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4.71572875$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{8 - 4.71572875}$

Etapa 4.5.2.1.3

Subtraia $4.71572875$ de $8$ .

$f (2.17157287) = 2.17157287 \sqrt{3.28427124}$

Etapa 4.5.2.2

Multiplique $2.17157287$ por $\sqrt{3.28427124}$ .

$f (2.17157287) = 3.93544563$

Etapa 4.5.2.3

A resposta final é $3.93544563$ .

$y = 3.93544563$

Etapa 4.6

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- 2 \sqrt{2}, 0), (2 \sqrt{2}, 0), (- 1.82842712, - 3.95), (- 0.82842712, - 2.24), (0.17157287, 0.48), (1.17157287, 3.02), (2.17157287, 3.94)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 \sqrt{2} & 0 \\ - 1.828 & - 3.95 \\ - 0.828 & - 2.24 \\ 0.172 & 0.48 \\ 1.172 & 3.02 \\ 2.172 & 3.94 \\ 2 \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Etapa 5