Cálculo Exemplos

$f (x) = (x^{2} - 1) e^{- x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $x^{2} e^{- x} - e^{- x}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x} - e^{- x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} x^{2} e^{- x} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.2

Reescreva $x^{2} e^{- x}$ como $\frac{x^{2}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.3.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.3.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 3.3.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.3.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [e^{x}]} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.3.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5.1.3

Como o expoente $x$ se aproxima de $\infty$ , a quantidade $e^{x}$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{\infty}{\infty} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{\infty}{\infty} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Etapa 3.5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.5.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x}} - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{e^{x}}$ se aproxima de $0$ .

$2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $0$ .

$0 - lim_{x \to \infty} e^{- x}$

Etapa 3.8

Como o expoente $- x$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- x}$ se aproxima de $0$ .

$0 - 0$

Etapa 3.9

Subtraia $0$ de $0$ .

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7