Cálculo Exemplos

$x - 4 \sqrt{x}$

Etapa 1

Escreva $x - 4 \sqrt{x}$ como uma função.

$f (x) = x - 4 \sqrt{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 2.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 2.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 2.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 2.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.2.10

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.12

Fatore $2$ de $- 4$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.2.13.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.13.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.1.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.2.5.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 3.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 3.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 3.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 3.2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 3.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 3.2.11

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 3.2.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 3.2.13.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.13.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.13.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.13.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.13.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.13.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.13.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 3.2.14

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 3.2.15

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 3.2.16

Combine $2$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.2.17

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.2.18

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 0 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3.3

Some $0$ e $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4 \sqrt{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 \sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.2.2

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$1 - 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 5.1.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 5.1.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 5.1.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 5.1.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 5.1.2.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 5.1.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 - 4 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 5.1.2.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$1 - 4 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.2.10

Combine $- 4$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$1 + \frac{- 4 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 5.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2.12

Fatore $2$ de $- 4$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.13.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 5.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$1 + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$1 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$

Etapa 6.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{2}}, 1$

Etapa 6.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4

Multiplique cada termo em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $x^{\frac{1}{2}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} = - 1$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ para o numerador.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 = - x^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Reescreva a equação como $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ .

$- x^{\frac{1}{2}} = - 2$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{\frac{1}{2}} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} = 2$

Etapa 6.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $2$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Etapa 6.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 6.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Etapa 6.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 2^{2}$

Etapa 6.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = 2^{2}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x^{1}}}$

Etapa 7.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$1 - \frac{2}{\sqrt{x}}$

Etapa 7.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{x} = 0$

Etapa 7.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{x}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{2}$

Etapa 7.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.4

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 7.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4, 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{1}{{(4)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 10.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2^{3}}$

Etapa 10.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{8}$

Etapa 11

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = (4) - 4 \sqrt{4}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (4) = 4 - 4 \sqrt{2^{2}}$

Etapa 12.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (4) = 4 - 4 \cdot 2$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$f (4) = 4 - 8$

Etapa 12.2.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$f (4) = - 4$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{1}{{(0)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 14.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{0^{3}}$

Etapa 14.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{1}{0}$

Etapa 14.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 15

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 16