Cálculo Exemplos

$y = 13 x - 13$ , $y = 35 - x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$13 x - 13 = 35 - x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $13 x - 13 = 35 - x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$13 x - 13 + x^{2} = 35$

Etapa 1.2.2

Subtraia $35$ dos dois lados da equação.

$13 x - 13 + x^{2} - 35 = 0$

Etapa 1.2.3

Subtraia $35$ de $- 13$ .

$13 x + x^{2} - 48 = 0$

Etapa 1.2.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$13 u + u^{2} - 48 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore $13 u + u^{2} - 48$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 48$ e cuja soma é $13$ .

$- 3, 16 + y = 35 - x^{2}$

Etapa 1.2.4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x - 3) (x + 16) = 0$

Etapa 1.2.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 16 = 0 + y = 35 - x^{2}$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.7

Defina $x + 16$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Defina $x + 16$ como igual a $0$ .

$x + 16 = 0$

Etapa 1.2.7.2

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$x = - 16$

Etapa 1.2.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 3) (x + 16) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 16$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $3$ por $x$ .

$y = 35 - {(3)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $3$ por $x$ em $y = 35 - {(3)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 35 - 3^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $35 - 3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$y = 35 - 1 \cdot 9$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$y = 35 - 9$

Etapa 1.3.2.2.2

Subtraia $9$ de $35$ .

$y = 26$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 16$ por $x$ .

$y = 35 - {(- 16)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $35 - {(- 16)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$y = 35 - 1 \cdot 256$

Etapa 1.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $256$ .

$y = 35 - 256$

Etapa 1.4.2.2

Subtraia $256$ de $35$ .

$y = - 221$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(3, 26)$

$(- 16, - 221)$

$(3, 26)$

$(- 16, - 221)$

Etapa 2

Reordene $35$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 35$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 16}^{3} - x^{2} + 35 d x - \int_{- 16}^{3} 13 x - 13 d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 16$ e $3$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} + 35 - (13 x - 13) d x$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- x^{2} + 35 - (13 x) - - 13$

Etapa 4.2.2

Multiplique $13$ por $- 1$ .

$- x^{2} + 35 - 13 x - - 13$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 13$ .

$- x^{2} + 35 - 13 x + 13$

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} + 35 - 13 x + 13 d x$

Etapa 4.3

Some $35$ e $13$ .

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} - 13 x + 48 d x$

Etapa 4.4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 16}^{3} - x^{2} d x + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 16}^{3} x^{2} d x + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} - 13 x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.8

Como $- 13$ é constante com relação a $x$ , mova $- 13$ para fora da integral.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 \int_{- 16}^{3} x d x + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 16}^{3}) + \int_{- 16}^{3} 48 d x$

Etapa 4.11

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 16}^{3}) - 13 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 16}^{3}) + 48 x]_{- 16}^{3}$

Etapa 4.12

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.12.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $3$ e em $- 16$ .

$- ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 16}^{3}) + 48 x]_{- 16}^{3}$

Etapa 4.12.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $3$ e em $- 16$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + 48 x]_{- 16}^{3}$

Etapa 4.12.3

Avalie $48 x$ em $3$ e em $- 16$ .

$- (\frac{3^{3}}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- (\frac{27}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.2

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.2.1

Fatore $3$ de $27$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\frac{9}{1} - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.2.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$- (9 - \frac{{(- 16)}^{3}}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.3

Eleve $- 16$ à potência de $3$ .

$- (9 - \frac{- 4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- (9 - - \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (9 + 1 (\frac{4096}{3})) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.6

Multiplique $\frac{4096}{3}$ por $1$ .

$- (9 + \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.7

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- (9 \cdot \frac{3}{3} + \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.8

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{9 \cdot 3}{3} + \frac{4096}{3}) - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{9 \cdot 3 + 4096}{3} - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.10.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$- \frac{27 + 4096}{3} - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.10.2

Some $27$ e $4096$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{3^{2}}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.11

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{{(- 16)}^{2}}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.12

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{256}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.13

Cancele o fator comum de $256$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.13.1

Fatore $2$ de $256$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 128}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.13.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.13.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 128}{2 (1)}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.13.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.13.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - \frac{128}{1}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.13.2.4

Divida $128$ por $1$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - 1 \cdot 128) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.14

Multiplique $- 1$ por $128$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - 128) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.15

Para escrever $- 128$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} - 128 \cdot \frac{2}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.16

Combine $- 128$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{9}{2} + \frac{- 128 \cdot 2}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{4123}{3} - 13 \frac{9 - 128 \cdot 2}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.18.1

Multiplique $- 128$ por $2$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 \frac{9 - 256}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.18.2

Subtraia $256$ de $9$ .

$- \frac{4123}{3} - 13 (\frac{- 247}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4123}{3} - 13 (- \frac{247}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.20

Multiplique $- 1$ por $- 13$ .

$- \frac{4123}{3} + 13 (\frac{247}{2}) + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.21

Combine $13$ e $\frac{247}{2}$ .

$- \frac{4123}{3} + \frac{13 \cdot 247}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.22

Multiplique $13$ por $247$ .

$- \frac{4123}{3} + \frac{3211}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.23

Para escrever $- \frac{4123}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4123}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3211}{2} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.24

Para escrever $\frac{3211}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4123}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3211}{2} \cdot \frac{3}{3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.25

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 4.12.4.25.1

Multiplique $\frac{4123}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{4123 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{3211}{2} \cdot \frac{3}{3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.25.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{4123 \cdot 2}{6} + \frac{3211}{2} \cdot \frac{3}{3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.25.3

Multiplique $\frac{3211}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4123 \cdot 2}{6} + \frac{3211 \cdot 3}{2 \cdot 3} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.25.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{4123 \cdot 2}{6} + \frac{3211 \cdot 3}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 4123 \cdot 2 + 3211 \cdot 3}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.27

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.27.1

Multiplique $- 4123$ por $2$ .

$\frac{- 8246 + 3211 \cdot 3}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.27.2

Multiplique $3211$ por $3$ .

$\frac{- 8246 + 9633}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.27.3

Some $- 8246$ e $9633$ .

$\frac{1387}{6} + (48 \cdot 3) - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.28

Multiplique $48$ por $3$ .

$\frac{1387}{6} + 144 - 48 \cdot - 16$

Etapa 4.12.4.29

Multiplique $- 48$ por $- 16$ .

$\frac{1387}{6} + 144 + 768$

Etapa 4.12.4.30

Some $144$ e $768$ .

$\frac{1387}{6} + 912$

Etapa 4.12.4.31

Para escrever $912$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1387}{6} + 912 \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 4.12.4.32

Combine $912$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{1387}{6} + \frac{912 \cdot 6}{6}$

Etapa 4.12.4.33

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1387 + 912 \cdot 6}{6}$

Etapa 4.12.4.34

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.34.1

Multiplique $912$ por $6$ .

$\frac{1387 + 5472}{6}$

Etapa 4.12.4.34.2

Some $1387$ e $5472$ .

$\frac{6859}{6}$

Etapa 5