Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt{3 x - 5}$ , $h (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ , $(f \circ h)$

Etapa 1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (h (x))$

Etapa 2

Avalie $f (\frac{x}{1 + x^{2}})$ substituindo o valor de $h$ em $f$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{3 (\frac{x}{1 + x^{2}}) - 5}$

Etapa 3

Combine $3$ e $\frac{x}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} - 5}$

Etapa 4

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} - 5 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}$

Etapa 5

Combine $- 5$ e $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x}{1 + x^{2}} + \frac{- 5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}$

Etapa 7

Reordene os termos.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}$

Etapa 8

Reescreva $\frac{3 x - 5 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ em uma forma fatorada.

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 \cdot 1 - 5 x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Etapa 8.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{3 x - 5 - 5 x^{2}}{x^{2} + 1}}$

Etapa 8.3

Reordene os termos.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \sqrt{\frac{- 5 x^{2} + 3 x - 5}{x^{2} + 1}}$

Etapa 9

Reescreva $\sqrt{\frac{- 5 x^{2} + 3 x - 5}{x^{2} + 1}}$ como $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 10

Multiplique $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 11

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 11.1

Multiplique $\frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ por $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 11.2

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 11.3

Eleve $\sqrt{x^{2} + 1}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Etapa 11.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 11.5

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Etapa 11.6

Reescreva ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ como $x^{2} + 1$ .

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Etapa 11.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 1}$ como ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 11.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 11.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.6.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 11.6.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 11.6.5

Simplifique.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{- 5 x^{2} + 3 x - 5} \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1}$

Etapa 12

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{x}{1 + x^{2}}) = \frac{\sqrt{(- 5 x^{2} + 3 x - 5) (x^{2} + 1)}}{x^{2} + 1}$