Cálculo Exemplos

$f (x) = \csc (\tan (3^{x^{2}}))$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \csc (x)$ e $g (x) = \tan (3^{x^{2}})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\tan (3^{x^{2}})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (3^{x^{2}})]$

Etapa 1.2

A derivada de $\csc (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (3^{x^{2}})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\tan (3^{x^{2}})$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \frac{d}{d x} [\tan (3^{x^{2}})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3^{x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3^{x^{2}}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\tan (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3^{x^{2}}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) (\sec^{2} (3^{x^{2}}) \frac{d}{d x} [3^{x^{2}}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = 3^{x}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $x^{2}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (\frac{d}{d u_{3}} [3^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $3$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{u_{3}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $x^{2}$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) (2 x))$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Reordene os fatores de $- 2 \csc (\tan (3^{x^{2}})) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \sec^{2} (3^{x^{2}}) (3^{x^{2}} \ln (3) (x))$ .

$- 2 \cdot 3^{x^{2}} x \sec^{2} (3^{x^{2}}) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \csc (\tan (3^{x^{2}})) \ln (3)$

Etapa 5.2

Reordene os fatores em $- 2 \cdot 3^{x^{2}} x \sec^{2} (3^{x^{2}}) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \csc (\tan (3^{x^{2}})) \ln (3)$ .

$- 2 x \cdot 3^{x^{2}} \sec^{2} (3^{x^{2}}) \cot (\tan (3^{x^{2}})) \csc (\tan (3^{x^{2}})) \ln (3)$