Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{9}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{9}{x^{2}} + \frac{7}{x^{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{9}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{9}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$9 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$9 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$9 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$9 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$9 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$9 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$9 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$9 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$9 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 2.10

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$- 18 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x^{3}}]$ .

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Etapa 3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7}{x^{3}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{3}}$ como ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{3}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{3}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Etapa 3.5.2

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Etapa 3.7

Multiplique $x^{- 6}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.7.1

Mova $x^{2}$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Etapa 3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 x^{2 - 6})$

Etapa 3.7.3

Subtraia $6$ de $2$ .

$- 18 x^{- 3} + 7 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 3.8

Multiplique $- 3$ por $7$ .

$- 18 x^{- 3} - 21 x^{- 4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{3}} - 21 x^{- 4}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 18 \frac{1}{x^{3}} - 21 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Combine $- 18$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 18}{x^{3}} - 21 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{18}{x^{3}} - 21 \frac{1}{x^{4}}$

Etapa 4.3.3

Combine $- 21$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$- \frac{18}{x^{3}} + \frac{- 21}{x^{4}}$

Etapa 4.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{18}{x^{3}} - \frac{21}{x^{4}}$