Cálculo Exemplos

$\frac{4 - 3 x - x^{2}}{x^{2} - 6}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 - 3 x - x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 6$ .

$\frac{(x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [4 - 3 x - x^{2}] - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 3 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.6

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - (2 x)) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.9

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6]}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.12

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.13

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.13.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - (4 - 3 x - x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 2.13.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - 2 (4 - 3 x - x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) + (- 2 \cdot 4 - 2 (- 3 x) - 2 (- x^{2})) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Expanda $(x^{2} - 6) (- 3 - 2 x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} (- 3 - 2 x) - 6 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 6 (- 3 - 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 2 x) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} (- 2 x) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{2} x - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.3.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x \cdot x^{2}) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.2.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 (x^{1} x^{2}) - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{1 + 2} - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.3.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} - 6 \cdot - 3 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.4

Multiplique $- 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 - 6 (- 2 x) - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 2 \cdot 4 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x - 2 (- 3 x) x - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.4.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x - 2 (- 3 (x \cdot x)) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{2}) x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.6.1

Mova $x$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 3.3.1.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.6.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} - 2 (- x^{3})}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.7

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Combine os termos opostos em $- 3 x^{2} - 2 x^{3} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} + 2 x^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.1

Some $- 2 x^{3}$ e $2 x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2} + 0}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $- 3 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 + 12 x - 8 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.3.4

Subtraia $8 x$ de $12 x$ .

$\frac{3 x^{2} + 18 + 4 x}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$

Etapa 3.4

Reordene os termos.

$\frac{3 x^{2} + 4 x + 18}{{(x^{2} - 6)}^{2}}$