Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$

Etapa 1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2} \sin (x) \tan (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x) \tan (x)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} \sin (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) (x^{2} \cos (x)) + \tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

Etapa 7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) (x^{2} \cos (x))) + 4 (\tan (x) (\sin (x) (2 x)))$

Etapa 7.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 x^{2} \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) x^{2} \cos (x) + 8 \tan (x) \sin (x) x$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$4 x^{2} \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$4 x^{2} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 x^{2} \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.4

Multiplique $4 x^{2} \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

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Etapa 7.5.4.1

Combine $4$ e $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$x^{2} \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.4.2

Combine $x^{2}$ e $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.5

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.6

Combine $\frac{4 x^{2}}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \cos (x) \tan (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.7

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.5.7.1

Adicione parênteses.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\cos (x) \tan (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.7.2

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\tan (x) \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.7.3

Reescreva $4 x^{2} \cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.7.4

Cancele os fatores comuns.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \tan (x)$

Etapa 7.5.8

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.5.9

Multiplique $8 x \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 7.5.9.1

Combine $8$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + x \sin (x) \frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.5.9.2

Combine $\frac{8 \sin (x)}{\cos (x)}$ e $x$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)} \sin (x)$

Etapa 7.5.9.3

Combine $\frac{8 \sin (x) x}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 \sin (x) x \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.5.9.4

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Etapa 7.5.9.5

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)}$

Etapa 7.5.9.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Etapa 7.5.9.7

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.6.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.2

Separe as frações.

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.4

Combine $\frac{4 x^{2}}{\cos (x)}$ e $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.5

Separe as frações.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.6

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{4 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.7

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\frac{4 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.8

Simplifique.

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Etapa 7.6.8.1

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.8.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{4 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.9

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.10

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.11

Separe as frações.

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.6.12

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + \frac{8 x (\sin (x))}{1} \tan (x)$

Etapa 7.6.13

Divida $8 x (\sin (x))$ por $1$ .

$4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$

Etapa 7.7

Reordene os fatores em $4 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$ .

$4 x^{2} \tan (x) \sec (x) + 4 x^{2} \sin (x) + 8 x (\sin (x)) \tan (x)$