Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{6}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{6} \cdot {(9 x + 9)}^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(9 x + 9)}^{3}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 9 x + 9$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 x + 9$ .

$\frac{1}{6} (3 {(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Combine $3$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(9 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9])$

Etapa 3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 3.2.1

Combine ${(9 x + 9)}^{2}$ e $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Etapa 3.2.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Etapa 3.2.3

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

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Etapa 3.2.3.1

Fatore $3$ de $3 {(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 ({(9 x + 9)}^{2})}{6} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Etapa 3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.3.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Etapa 3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(9 x + 9)}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Etapa 3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \frac{d}{d x} [9 x + 9]$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 3.4

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 3.6

Multiplique $9$ por $1$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 3.7

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} (9 + 0)$

Etapa 3.8

Combine frações.

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Etapa 3.8.1

Some $9$ e $0$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2} \cdot 9$

Etapa 3.8.2

Combine $\frac{{(9 x + 9)}^{2}}{2}$ e $9$ .

$\frac{{(9 x + 9)}^{2} \cdot 9}{2}$

Etapa 3.8.3

Mova $9$ para a esquerda de ${(9 x + 9)}^{2}$ .

$\frac{9 \cdot {(9 x + 9)}^{2}}{2}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(9 x + 9)}^{2}$ como $(9 x + 9) (9 x + 9)$ .

$\frac{9 ((9 x + 9) (9 x + 9))}{2}$

Etapa 4.2

Expanda $(9 x + 9) (9 x + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x + 9) + 9 (9 x + 9))}{2}$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x + 9))}{2}$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (9 x (9 x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{9 (9 \cdot 9 x \cdot x + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 (x \cdot x) + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{9 (9 \cdot 9 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3.1.3

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 9 x \cdot 9 + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 9 (9 x) + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3.1.5

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 9 \cdot 9)}{2}$

Etapa 4.3.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 81 x + 81 x + 81)}{2}$

Etapa 4.3.2

Some $81 x$ e $81 x$ .

$\frac{9 (81 x^{2} + 162 x + 81)}{2}$

Etapa 4.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{9 (81 x^{2}) + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $81$ por $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 9 (162 x) + 9 \cdot 81}{2}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $162$ por $9$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 9 \cdot 81}{2}$

Etapa 4.5.3

Multiplique $9$ por $81$ .

$\frac{729 x^{2} + 1458 x + 729}{2}$