Cálculo Exemplos

$3 \sin (x) \cos (y) = 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (3 \sin (x) \cos (y)) = \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x) \cos (y)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (y)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \cos (y)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$3 (\sin (x) (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.5

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y') + \cos (y) \cos (x))$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (\sin (x) (- \sin (y) y')) + 3 (\cos (y) \cos (x))$

Etapa 2.6.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (y) \cos (x)$

Etapa 2.6.3

Reordene os termos.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$

Etapa 3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $- 3 \sin (x) \sin (y) y' + 3 \cos (x) \cos (y)$ .

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) + 3 \cos (x) \cos (y) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $3 \cos (x) \cos (y)$ dos dois lados da equação.

$- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ por $- 3 \sin (x) \sin (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $- 3 y' \sin (x) \sin (y) = - 3 \cos (x) \cos (y)$ por $- 3 \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 y' \sin (x) \sin (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (x) \sin (y)}{\sin (x) \sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $\sin (y)$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 3 \cos (x) \cos (y)}{- 3 \sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{\cos (x) \cos (y)}{\sin (x) \sin (y)}$

Etapa 5.3.3.2

Separe as frações.

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 5.3.3.3

Converta de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ em $\cot (x)$ .

$y' = \frac{\cos (y)}{\sin (y)} \cot (x)$

Etapa 5.3.3.4

Converta de $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ em $\cot (y)$ .

$y' = \cot (y) \cot (x)$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \cot (y) \cot (x)$