Cálculo Exemplos

$x y^{2} - 2 x^{2} y = 1 + x^{2}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - 2 x^{2} y) = \frac{d}{d x} (1 + x^{2})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} - 2 x^{2} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2} y$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + y (2 x))$

Etapa 2.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y' + 2 y x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y y' + y^{2} - 2 (x^{2} y') - 2 (2 y x)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 x y y' + y^{2} - 2 x^{2} y' - 4 y x$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Etapa 3.4

Some $0$ e $2 x$ .

$2 x$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y^{2} + 2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' - 4 x y = 2 x - y^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $4 x y$ aos dois lados da equação.

$2 x y y' - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Etapa 5.2

Fatore $2 x y'$ de $2 x y y' - 2 x^{2} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2 x y'$ de $2 x y y'$ .

$2 x y' y - 2 x^{2} y' = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 x y'$ de $- 2 x^{2} y'$ .

$2 x y' y + 2 x y' (- x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 x y'$ de $2 x y' y + 2 x y' (- x)$ .

$2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ por $2 x (y - x)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 x y' (y - x) = 2 x - y^{2} + 4 x y$ por $2 x (y - x)$ .

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x y' (y - x)}{2 x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (y - x)}{x (y - x)} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $y - x$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - x)}{y - x} = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x}{x (y - x)} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{y - x} + \frac{- y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{4 x y}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 5.3.3.1.4.1

Fatore $2$ de $4 x y$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2 x (y - x)$ .

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Etapa 5.3.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 (2 x y)}{2 (x (y - x))}$

Etapa 5.3.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 x y}{x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{1}{y - x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $\frac{1}{y - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{1}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $(y - x) \cdot 2 x$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{1}{y - x}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x}{(y - x) (2 x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x}{2 x (y - x)} - \frac{y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x}$

Etapa 5.3.3.5

Para escrever $\frac{2 y}{y - x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y}{y - x} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Etapa 5.3.3.6

Escreva cada expressão com um denominador comum de $2 x (y - x)$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.6.1

Multiplique $\frac{2 y}{y - x}$ por $\frac{2 x}{2 x}$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{(y - x) (2 x)}$

Etapa 5.3.3.6.2

Reordene os fatores de $(y - x) (2 x)$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2}}{2 x (y - x)} + \frac{2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 2 y (2 x)}{2 x (y - x)}$

Etapa 5.3.3.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$y' = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y^{2} + 4 y x}{2 x (y - x)}$