Cálculo Exemplos

$y = 2 x^{2} \sqrt{2 - x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - x}$ como ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8

Combine frações.

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Etapa 4.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (x^{2} (\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8.3

Mova ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x^{2} (\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.10

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14

Combine frações.

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Etapa 4.14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14.2

Combine $\frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2} \cdot - 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.14.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 (\frac{- 1 \cdot x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14.3.2

Reescreva $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$2 (\frac{- x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Etapa 4.16

Reordene.

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Etapa 4.16.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(2 - x)}^{\frac{1}{2}} x)$

Etapa 4.16.2

Mova ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.17

Para escrever $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.18

Combine $2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x^{2}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{- x^{2} + 2 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.20

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21

Multiplique ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.21.1

Mova ${(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x ({(- x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.4

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{\frac{2}{2}}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.21.5

Divida $2$ por $2$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x {(- x + 2)}^{1}}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.22

Simplifique $4 x {(- x + 2)}^{1}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.23

Combine $2$ e $\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.24

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x^{2} + 4 x (- x + 2))}{2 {(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.25

Reescreva a expressão.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x + 2)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26

Simplifique.

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Etapa 4.26.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 4 x (- x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.26.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.26.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x \cdot x + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 4.26.2.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 (x \cdot x) + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 \cdot - 1 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 4 x \cdot 2}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2.1.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.2.2

Subtraia $4 x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- 5 x^{2} + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.3

Fatore $x$ de $- 5 x^{2} + 8 x$ .

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Etapa 4.26.3.1

Fatore $x$ de $- 5 x^{2}$ .

$\frac{x (- 5 x) + 8 x}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.3.2

Fatore $x$ de $8 x$ .

$\frac{x (- 5 x) + x \cdot 8}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.3.3

Fatore $x$ de $x (- 5 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (- 5 x + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.4

Fatore $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{x (- (5 x) + 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.5

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (5 x) - 1 (- 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.6

Fatore $- 1$ de $- (5 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{x (- (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.7

Reescreva $- (5 x - 8)$ como $- 1 (5 x - 8)$ .

$\frac{x (- 1 (5 x - 8))}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (5 x - 8)}{{(- x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$