Cálculo Exemplos

$\int_{2}^{6} x \sqrt{x - 2} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = \sqrt{x - 2}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x - 2)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 2.2

Combine $x$ e $\frac{2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \int_{2}^{6} \frac{2}{3} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 3

Como $\frac{2}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{2}{3}$ para fora da integral.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - (\frac{2}{3} \int_{2}^{6} {(x - 2)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 4

Deixe $u = x - 2$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = x - 2$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 4.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 2 - 2$

Etapa 4.3

Subtraia $2$ de $2$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 6 - 2$

Etapa 4.5

Subtraia $2$ de $6$ .

$u_{upper} = 4$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 4$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \int_{0}^{4} u^{\frac{3}{2}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{3}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}]_{2}^{6} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{x (2 {(x - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}$ em $6$ e em $2$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{0}^{4}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ em $4$ e em $0$ .

$(\frac{6 (2 {(6 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3}) - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3

Simplifique.

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Etapa 6.3.1

Subtraia $2$ de $6$ .

$\frac{6 (2 \cdot 4^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{6 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6 (2 \cdot 2^{3})}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.5

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{6 (2 \cdot 8)}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.6

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{6 \cdot 16}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.7

Multiplique $6$ por $16$ .

$\frac{96}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8

Cancele o fator comum de $96$ e $3$ .

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Etapa 6.3.8.1

Fatore $3$ de $96$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 32}{3 (1)} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{32}{1} - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.8.2.4

Divida $32$ por $1$ .

$32 - \frac{2 (2 {(2 - 2)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.9

Subtraia $2$ de $2$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.10

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.11

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.12.1

Cancele o fator comum.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.12.2

Reescreva a expressão.

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0^{3})}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.13

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$32 - \frac{2 (2 \cdot 0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.14

Multiplique $2$ por $0$ .

$32 - \frac{2 \cdot 0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.15

Multiplique $2$ por $0$ .

$32 - \frac{0}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 6.3.16.1

Fatore $3$ de $0$ .

$32 - \frac{3 (0)}{3} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.16.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16.2.2

Cancele o fator comum.

$32 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16.2.3

Reescreva a expressão.

$32 - \frac{0}{1} - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.16.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$32 - 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.17

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$32 + 0 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.18

Some $32$ e $0$ .

$32 - \frac{2}{3} ((\frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.19

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.20

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.21

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.21.1

Cancele o fator comum.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.21.2

Reescreva a expressão.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.22

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.23

Combine $\frac{2}{5}$ e $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.24

Multiplique $2$ por $32$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.25

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}})$

Etapa 6.3.26

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Etapa 6.3.27

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.27.1

Cancele o fator comum.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})})$

Etapa 6.3.27.2

Reescreva a expressão.

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0^{5})$

Etapa 6.3.28

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 0)$

Etapa 6.3.29

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0 (\frac{2}{5}))$

Etapa 6.3.30

Multiplique $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$32 - \frac{2}{3} (\frac{64}{5} + 0)$

Etapa 6.3.31

Some $\frac{64}{5}$ e $0$ .

$32 - \frac{2}{3} \cdot \frac{64}{5}$

Etapa 6.3.32

Multiplique $\frac{64}{5}$ por $\frac{2}{3}$ .

$32 - \frac{64 \cdot 2}{5 \cdot 3}$

Etapa 6.3.33

Multiplique $64$ por $2$ .

$32 - \frac{128}{5 \cdot 3}$

Etapa 6.3.34

Multiplique $5$ por $3$ .

$32 - \frac{128}{15}$

Etapa 6.3.35

Para escrever $32$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$32 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Etapa 6.3.36

Combine $32$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{32 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Etapa 6.3.37

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{32 \cdot 15 - 128}{15}$

Etapa 6.3.38

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.38.1

Multiplique $32$ por $15$ .

$\frac{480 - 128}{15}$

Etapa 6.3.38.2

Subtraia $128$ de $480$ .

$\frac{352}{15}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{352}{15}$

Forma decimal:

$23.4\overline{6}$

Forma de número misto:

$23 \frac{7}{15}$

Etapa 8