Cálculo Exemplos

$\frac{e^{x}}{x}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - e^{x}$ .

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Etapa 1.4.2.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Fatore $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.2.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.2.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.2.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.2.3

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.2.4

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ em $x = 1$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Divida $e^{1}$ por $1$ .

$f (1) = e$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $e$ .

$e$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ é $y = e$ .

$y = e$

Etapa 5