Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{{(1 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}} d x$

Etapa 1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}} d x$

Etapa 2

Deixe $x = \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1

Simplifique $\sqrt{{(1 + \tan^{2} (t))}^{3}}$ .

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Etapa 3.1.1

Reorganize os termos.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\tan^{2} (t) + 1)}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{2} (t))}^{3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.3

Multiplique os expoentes em ${(\sec^{2} (t))}^{3}$ .

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Etapa 3.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{\sec (t)}^{2 \cdot 3}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{6} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.4

Reescreva $\sec^{6} (t)$ como ${(\sec^{3} (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\sec^{3} (t))}^{2}}} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $\sec^{2} (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{\sec (t)} d t$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Reescreva $\sec (t)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}} d t$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\int 1 \cos (t) d t$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $\cos (t)$ por $1$ .

$\int \cos (t) d t$

Etapa 4

A integral de $\cos (t)$ com relação a $t$ é $\sin (t)$ .

$\sin (t) + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (x)$ .

$\sin (\arctan (x)) + C$