Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} e^{- x} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- x} d x$

Etapa 2

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 2.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 2.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - t$

Etapa 2.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - t$

Etapa 2.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- t} - e^{u} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- t} e^{u} d u$

Etapa 4

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{u}]_{0}^{- t})$

Etapa 5

Substitua e simplifique.

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Etapa 5.1

Avalie $e^{u}$ em $- t$ e em $0$ .

$lim_{t \to \infty} - ((e^{- t}) - e^{0})$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1 \cdot 1)$

Etapa 5.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} - (e^{- t} - 1)$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} e^{- t} - 1$

Etapa 6.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- (lim_{t \to \infty} e^{- t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.2

Como o expoente $- t$ se aproxima de $- \infty$ , a quantidade $e^{- t}$ se aproxima de $0$ .

$- (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Etapa 6.3

Avalie o limite.

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Etapa 6.3.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$- (0 - 1 \cdot 1)$

Etapa 6.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- (0 - 1)$

Etapa 6.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$- - 1$

Etapa 6.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1$