Cálculo Exemplos

$\int \frac{1 - y^{2}}{3 y} d y$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - y^{2}}{y} d y$

Etapa 2

Reordene $1$ e $- y^{2}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{- y^{2} + 1}{y} d y$

Etapa 3

Divida $- y^{2} + 1$ por $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$y$

$0$

$y^{2}$

$0 y$

$1$

Etapa 3.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- y^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $y$ .

				-	$y$
	$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$

Etapa 3.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			-	$y^{2}$	+	$0$

Etapa 3.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- y^{2} + 0$ .

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$

Etapa 3.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$

Etapa 3.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

			-	$y$
$y$	+	$0$	-	$y^{2}$	+	$0 y$	+	$1$
			+	$y^{2}$	-	$0$
						$0$	+	$1$

Etapa 3.7

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{1}{3} \int - y + \frac{1}{y} d y$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{3} (\int - y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (- \int y d y + \int \frac{1}{y} d y)$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int \frac{1}{y} d y)$

Etapa 7

A integral de $\frac{1}{y}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- (\frac{y^{2}}{2} + C) + \ln (| y |) + C)$

Etapa 8.2

Simplifique.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{2} y^{2} + \ln (| y |)) + C$