Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y$

Etapa 1

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1

Negative o expoente de $e^{2 y}$ e o mova para fora do denominador.

$\int_{0}^{1} y {(e^{2 y})}^{- 1} d y$

Etapa 1.2

Multiplique os expoentes em ${(e^{2 y})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{0}^{1} y e^{2 y \cdot - 1} d y$

Etapa 1.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\int_{0}^{1} y e^{- 2 y} d y$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = y$ e $d v = e^{- 2 y}$ .

$y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $e^{- 2 y}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y (- \frac{e^{- 2 y}}{2})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Etapa 3.2

Combine $y$ e $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y$

Etapa 4

Como $- \frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $- \frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - (- \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + 1 (\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y)$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{- 2 y} d y$

Etapa 6

Deixe $u = - 2 y$ . Depois, $d u = - 2 d y$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = - 2 y$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Etapa 6.1.2

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2 y$ em relação a $y$ é $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 2$

Etapa 6.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = - 2 y$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Etapa 6.3

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 6.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = - 2 y$ .

$u_{upper} = - 2 \cdot 1$

Etapa 6.5

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Etapa 6.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Etapa 6.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 7.2

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Etapa 10.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{- 2} e^{u} d u$

Etapa 11

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- \frac{y e^{- 2 y}}{2}]_{0}^{1} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Etapa 12

Substitua e simplifique.

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Etapa 12.1

Avalie $- \frac{y e^{- 2 y}}{2}$ em $1$ e em $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} e^{u}]_{0}^{- 2}$

Etapa 12.2

Avalie $e^{u}$ em $- 2$ e em $0$ .

$(- \frac{1 e^{- 2 \cdot 1}}{2}) + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3

Simplifique.

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Etapa 12.3.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- \frac{1 e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.2

Multiplique $e^{- 2}$ por $1$ .

$- \frac{e^{- 2}}{2} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.3

Mova $e^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{- 2 \cdot 0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 e^{0}}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0 \cdot 1}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

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Etapa 12.3.7.1

Fatore $2$ de $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 (0)}{2} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{0}{1} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.7.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + 0 - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.8

Some $- \frac{1}{2 e^{2}}$ e $0$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} ((e^{- 2}) - e^{0})$

Etapa 12.3.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1 \cdot 1)$

Etapa 12.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$

Etapa 12.3.11

Para escrever $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) \cdot \frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.12

Combine $- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1)$ e $\frac{2 e^{2}}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{2}} + \frac{- \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 - \frac{1}{4} (e^{- 2} - 1) (2 e^{2})}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 - 2 (\frac{1}{4}) (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.15

Combine $- 2$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2}{4} (e^{- 2} - 1) e^{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.16

Combine $e^{2}$ e $\frac{- 2}{4}$ .

$\frac{- 1 + \frac{e^{2} \cdot - 2}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.17

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{- 2 \cdot e^{2}}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.18

Cancele o fator comum de $- 2$ e $4$ .

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Etapa 12.3.18.1

Fatore $2$ de $- 2 e^{2}$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{4} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.18.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.18.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 (2)} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.18.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 1 + \frac{2 (- e^{2})}{2 \cdot 2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.18.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 + \frac{- e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 12.3.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{- 1 - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 13.2

Fatore $- 1$ de $- \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Etapa 13.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (\frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1))}{2 e^{2}}$

Etapa 13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} (e^{- 2} - 1)}{2 e^{2}}$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{1 + \frac{e^{2}}{2} e^{- 2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Etapa 14.2

Multiplique $\frac{e^{2}}{2} e^{- 2}$ .

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Etapa 14.2.1

Combine $\frac{e^{2}}{2}$ e $e^{- 2}$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{2} e^{- 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Etapa 14.2.2

Multiplique $e^{2}$ por $e^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1 + \frac{e^{2 - 2}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Etapa 14.2.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$- \frac{1 + \frac{e^{0}}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Etapa 14.2.3

Simplifique $e^{0}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} \cdot - 1}{2 e^{2}}$

Etapa 14.3

Combine $\frac{e^{2}}{2}$ e $- 1$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{e^{2} \cdot - 1}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.5

Reescreva $- 1 e^{2}$ como $- e^{2}$ .

$- \frac{1 + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.6.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\frac{2}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{2 + 1}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.6.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{\frac{3}{2} + \frac{- e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.6.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\frac{3 - e^{2}}{2}}{2 e^{2}}$

Etapa 14.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}})$

Etapa 14.8

Multiplique $\frac{3 - e^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2 e^{2}}$ .

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Etapa 14.8.1

Multiplique $\frac{3 - e^{2}}{2}$ por $\frac{1}{2 e^{2}}$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{2 (2 e^{2})}$

Etapa 14.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3 - e^{2}}{4 e^{2}}$

Forma decimal:

$0.14849853 \dots$

Etapa 16