Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t) - 1} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 3

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \tan^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\int (- 1 + \sec^{2} (t)) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int - 1 \sec^{1} (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 5.2

Simplifique cada termo.

$\int - \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 8

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 9

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 10

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 11

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Etapa 12

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 14

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Some $1$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 14.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Etapa 15

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Etapa 16

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 16.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 16.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Etapa 17

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Etapa 18

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Etapa 19

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Etapa 20

Some $1$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Etapa 21

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Etapa 22

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Etapa 23

Some $2$ e $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Etapa 24

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 25

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 26

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 27

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 27.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 28

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C$

Etapa 29

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C$

Etapa 30

Simplifique.

$- \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 31

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (x)$ .

$- \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |) + \frac{1}{2} (\sec (arcsec (x)) \tan (arcsec (x)) + \ln (| \sec (arcsec (x)) + \tan (arcsec (x)) |)) + C$