Cálculo Exemplos

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 3$ e $y = 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x}{x + 4}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 4$ .

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x + 4$ por $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.4

Some $0$ e $4$ .

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.5

Combine $7$ e $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.6

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.5.1.1

Some $3$ e $4$ .

$\frac{28}{7^{2}}$

Etapa 1.5.1.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{28}{49}$

Etapa 1.5.2

Cancele o fator comum de $28$ e $49$ .

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Etapa 1.5.2.1

Fatore $7$ de $28$ .

$\frac{7 (4)}{49}$

Etapa 1.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.2.1

Fatore $7$ de $49$ .

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

Etapa 1.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4}{7}$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $\frac{4}{7}$ e um ponto determinado $(3, 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.4

Combine $\frac{4}{7}$ e $x$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Etapa 2.3.1.5.1

Combine $\frac{4}{7}$ e $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

Etapa 2.3.1.5.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

Etapa 2.3.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

Etapa 2.3.2.2

Para escrever $3$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

Etapa 2.3.2.3

Combine $3$ e $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

Etapa 2.3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

Etapa 2.3.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.5.1

Multiplique $3$ por $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

Etapa 2.3.2.5.2

Some $- 12$ e $21$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

Etapa 2.3.3

Reordene os termos.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

Etapa 3