Cálculo Exemplos

$2 x^{2} + y^{2} = 12$ , $(2, - 2)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 2$ e $y = - 2$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 1.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 1.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 1.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 1.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 x + 2 y y'$

Etapa 1.2.4

Reordene os termos.

$2 y y' + 4 x$

Etapa 1.3

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 4 x = 0$

Etapa 1.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 1.5.1

Subtraia $4 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' = - 4 x$

Etapa 1.5.2

Divida cada termo em $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 1.5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = - 4 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 1.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

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Etapa 1.5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

Etapa 1.5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

Etapa 1.5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

Etapa 1.7

Avalie em $x = 2$ e $y = - 2$ .

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Etapa 1.7.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$- \frac{2 (2)}{y}$

Etapa 1.7.2

Substitua a variável $y$ por $- 2$ na expressão.

$- \frac{2 (2)}{- 2}$

Etapa 1.7.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot 2)$

Etapa 1.7.4

Multiplique $- (- 1 \cdot 2)$ .

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Etapa 1.7.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- - 2$

Etapa 1.7.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $2$ e um ponto determinado $(2, - 2)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 2) = 2 \cdot (x - (2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 2 = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \cdot (x - 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 2 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 2 = 2 \cdot (x - 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 2 = 2 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y + 2 = 2 x - 4$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y = 2 x - 4 - 2$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$y = 2 x - 6$

Etapa 3