Cálculo Exemplos

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 20 x + 5 x^{2}$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} (1 - 20 x + 5 x^{2})$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 20 x + 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.4

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.6

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + \frac{d}{d x} (5 x^{2}))$

Etapa 1.1.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Etapa 1.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 5 (2 x))$

Etapa 1.1.2.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

$- 20 + 10 x = 0$

Etapa 2.3

Defina $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.3

Não há uma solução para $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.4

Defina $- 20 + 10 x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $- 20 + 10 x$ como igual a $0$ .

$- 20 + 10 x = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $- 20 + 10 x = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $20$ aos dois lados da equação.

$10 x = 20$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $10 x = 20$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $10 x = 20$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{20}{10}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{20}{10}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Divida $20$ por $10$ .

$x = 2$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}} (- 20 + 10 x) = 0$ verdadeiro.

$x = 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $e^{1 - 20 x + 5 x^{2}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$e^{1 - 20 \cdot 2 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 20$ por $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 {(2)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e^{1 - 40 + 5 \cdot 4}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $5$ por $4$ .

$e^{1 - 40 + 20}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $40$ de $1$ .

$e^{- 39 + 20}$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $- 39$ e $20$ .

$e^{- 19}$

Etapa 4.1.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{19}}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(2, \frac{1}{e^{19}})$

Etapa 5