Cálculo Exemplos

$\int e^{x} \sqrt{1 + e^{x}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Depois, $d u = e^{x} d x$ , então, $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + e^{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $e^{x}$ .

$e^{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{x}$ .

$\frac{2}{3} {(1 + e^{x})}^{\frac{3}{2}} + C$