Cálculo Exemplos

$y = x$ , $y = 3 \sqrt{x}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x = 3 \sqrt{x}$

Etapa 1.2

Resolva $x = 3 \sqrt{x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$3 \sqrt{x} = x$

Etapa 1.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(3 \sqrt{x})}^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$9 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$9 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$9 x^{1} = x^{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.4

Simplifique.

$9 x = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$9 x - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$9 u - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Fatore $u$ de $9 u - u^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Fatore $u$ de $9 u$ .

$u \cdot 9 - u^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Fatore $u$ de $- u^{2}$ .

$u \cdot 9 + u (- u) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Fatore $u$ de $u \cdot 9 + u (- u)$ .

$u (9 - u) = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$x (9 - x) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$9 - x = 0 + y = 3 \sqrt{x}$

Etapa 1.2.4.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4.5

Defina $9 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1

Defina $9 - x$ como igual a $0$ .

$9 - x = 0$

Etapa 1.2.4.5.2

Resolva $9 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- x = - 9$

Etapa 1.2.4.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 9$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.3.1

Divida $- 9$ por $- 1$ .

$x = 9$

Etapa 1.2.4.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (9 - x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 9$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = 3 \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $3 \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 \sqrt{0}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 3 \cdot 0$

Etapa 1.3.2.4

Multiplique $3$ por $0$ .

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $9$ por $x$ .

$y = 3 \sqrt{9}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $3 \sqrt{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = 3 \sqrt{9}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$y = 3 \sqrt{3^{2}}$

Etapa 1.4.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 3 \cdot 3$

Etapa 1.4.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$y = 9$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(0, 0)$

$(9, 9)$

$(0, 0)$

$(9, 9)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x - \int_{0}^{9} x d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $0$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - (x) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} - x d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{9} 3 \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Etapa 3.4

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int_{0}^{9} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Etapa 3.5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{0}^{9} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{9} - x d x$

Etapa 3.6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Etapa 3.7

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) + \int_{0}^{9} - x d x$

Etapa 3.8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - \int_{0}^{9} x d x$

Etapa 3.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{9})$

Etapa 3.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{9}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Etapa 3.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.1

Avalie $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ em $9$ e em $0$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{9})$

Etapa 3.10.2.2

Avalie $\frac{x^{2}}{2}$ em $9$ e em $0$ .

$3 (\frac{2 \cdot 9^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.3.1

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.3.2

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{2 \cdot 3^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.5

Multiplique $2$ por $27$ .

$3 (\frac{54}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6

Cancele o fator comum de $54$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.6.1

Fatore $3$ de $54$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{18}{1} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.6.2.4

Divida $18$ por $1$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.7

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.9.1

Cancele o fator comum.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.9.2

Reescreva a expressão.

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.10

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 (18 - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.11

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 (18 - \frac{0}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.12

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.12.1

Fatore $3$ de $0$ .

$3 (18 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.12.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.12.2.2

Cancele o fator comum.

$3 (18 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.12.2.3

Reescreva a expressão.

$3 (18 - \frac{0}{1}) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.12.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$3 (18 - 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.13

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$3 (18 + 0) - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.14

Some $18$ e $0$ .

$3 \cdot 18 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.15

Multiplique $3$ por $18$ .

$54 - (\frac{9^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.16

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Etapa 3.10.2.3.17

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{2})$

Etapa 3.10.2.3.18

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.18.1

Fatore $2$ de $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Etapa 3.10.2.3.18.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.18.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.10.2.3.18.2.2

Cancele o fator comum.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Etapa 3.10.2.3.18.2.3

Reescreva a expressão.

$54 - (\frac{81}{2} - \frac{0}{1})$

Etapa 3.10.2.3.18.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$54 - (\frac{81}{2} - 0)$

Etapa 3.10.2.3.19

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$54 - (\frac{81}{2} + 0)$

Etapa 3.10.2.3.20

Some $\frac{81}{2}$ e $0$ .

$54 - \frac{81}{2}$

Etapa 3.10.2.3.21

Para escrever $54$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$54 \cdot \frac{2}{2} - \frac{81}{2}$

Etapa 3.10.2.3.22

Combine $54$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{54 \cdot 2}{2} - \frac{81}{2}$

Etapa 3.10.2.3.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{54 \cdot 2 - 81}{2}$

Etapa 3.10.2.3.24

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.10.2.3.24.1

Multiplique $54$ por $2$ .

$\frac{108 - 81}{2}$

Etapa 3.10.2.3.24.2

Subtraia $81$ de $108$ .

$\frac{27}{2}$

Etapa 4