Cálculo Exemplos

$\int \sqrt{4 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ é positivo.

$\int \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t)$ .

$\int \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{4 \cos^{2} (t)} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int 2 \cos (t) (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$\int 4 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 2.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 2.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\int 4 \cos^{2} (t) d t$

Etapa 3

Como $4$ é constante com relação a $t$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$4 \int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 6.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$2 (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 9.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$2 (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 10

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 11

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Etapa 12

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$2 (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Etapa 13

Simplifique.

$2 (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 14.1

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Etapa 14.2

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$2 (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Etapa 14.3

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$2 (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (\frac{x}{2}))$ .

$2 (\arcsin (\frac{x}{2}) + \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{2}))}{2}) + C$

Etapa 15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \arcsin (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{2}))}{2} + C$

Etapa 15.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.3.1

Cancele o fator comum.

$2 \arcsin (\frac{x}{2}) + 2 \frac{\sin (2 \arcsin (\frac{x}{2}))}{2} + C$

Etapa 15.3.2

Reescreva a expressão.

$2 \arcsin (\frac{x}{2}) + \sin (2 \arcsin (\frac{x}{2})) + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$2 \arcsin (\frac{1}{2} x) + \sin (2 \arcsin (\frac{1}{2} x)) + C$