Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \frac{x - 4}{x^{2} - 5 x + 6} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2} - 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 1.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{x - 4}{(x - 3) (x - 2)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 3}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x - 3) (x - 2)$ .

$\frac{(x - 4) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (x - 3) (x - 2)}{(x - 3) (x - 2)} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{x - 2} = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $x - 4$ por $1$ .

$x - 4 = \frac{(A) (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.7.1

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 1.1.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x - 4 = \frac{A (x - 3) (x - 2)}{x - 3} + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.1.2

Divida $(A) (x - 2)$ por $1$ .

$x - 4 = (A) (x - 2) + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = A x + A \cdot - 2 + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $A$ .

$x - 4 = A x - 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.4

Cancele o fator comum de $x - 2$ .

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Etapa 1.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$x - 4 = A x - 2 A + \frac{(B) (x - 3) (x - 2)}{x - 2}$

Etapa 1.1.7.4.2

Divida $(B) (x - 3)$ por $1$ .

$x - 4 = A x - 2 A + (B) (x - 3)$

Etapa 1.1.7.5

Aplique a propriedade distributiva.

$x - 4 = A x - 2 A + B x + B \cdot - 3$

Etapa 1.1.7.6

Mova $- 3$ para a esquerda de $B$ .

$x - 4 = A x - 2 A + B x - 3 B$

Etapa 1.1.8

Mova $- 2 A$ .

$x - 4 = A x + B x - 2 A - 3 B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

$1 = A + B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 A - 3 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $- 4 = - 2 A - 3 B$ por $1 - B$ .

$- 4 = - 2 (1 - B) - 3 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $- 2 (1 - B) - 3 B$ .

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 4 = - 2 \cdot 1 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$- 4 = - 2 - 2 (- B) - 3 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 4 = - 2 + 2 B - 3 B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 + 2 B - 3 B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $3 B$ de $2 B$ .

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

$- 4 = - 2 - B$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $- 4 = - 2 - B$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 2 - B = - 4$ .

$- 2 - B = - 4$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.3.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- B = - 4 + 2$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$- B = - 2$

$A = 1 - B$

$- B = - 2$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- B = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- B = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- B}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.3.3.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{B}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.2.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 2}{- 1}$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

$B = 2$

$A = 1 - B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $2$ .

$A = 1 - (2)$

$B = 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $1 - (2)$ .

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Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$A = 1 - 2$

$B = 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

$A = - 1$

$B = 2$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = - 1, B = 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x - 2}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{- 1}{x - 3} + \frac{2}{x - 2}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{0}^{1} - \frac{1}{x - 3} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 3} d x + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = x - 3$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = x - 3$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 4.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{1} = x - 3$ .

$u_{lower} = 0 - 3$

Etapa 4.3

Subtraia $3$ de $0$ .

$u_{lower} = - 3$

Etapa 4.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{1} = x - 3$ .

$u_{upper} = 1 - 3$

Etapa 4.5

Subtraia $3$ de $1$ .

$u_{upper} = - 2$

Etapa 4.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = - 2$

Etapa 4.7

Reescreva o problema usando $u_{1}$ , $d u_{1}$ e os novos limites de integração.

$- \int_{- 3}^{- 2} \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + \int_{0}^{1} \frac{2}{x - 2} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + 2 \int_{0}^{1} \frac{1}{x - 2} d x$

Etapa 7

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u_{2} = x - 2$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Etapa 7.1.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 7.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 7.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u_{2} = x - 2$ .

$u_{lower} = 0 - 2$

Etapa 7.3

Subtraia $2$ de $0$ .

$u_{lower} = - 2$

Etapa 7.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u_{2} = x - 2$ .

$u_{upper} = 1 - 2$

Etapa 7.5

Subtraia $2$ de $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 7.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - 2$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 7.7

Reescreva o problema usando $u_{2}$ , $d u_{2}$ e os novos limites de integração.

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + 2 \int_{- 2}^{- 1} \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |)]_{- 3}^{- 2}) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $\ln (| u_{1} |)$ em $- 2$ e em $- 3$ .

$- ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |)) + 2 (\ln (| u_{2} |)]_{- 2}^{- 1})$

Etapa 9.2

Avalie $\ln (| u_{2} |)$ em $- 1$ e em $- 2$ .

$- ((\ln (| - 2 |)) - \ln (| - 3 |)) + 2 ((\ln (| - 1 |)) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 9.3

Remova os parênteses.

$- (\ln (| - 2 |) - \ln (| - 3 |)) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |}) + 2 (\ln (| - 1 |) - \ln (| - 2 |))$

Etapa 10.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| - 2 |}{| - 3 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$- \ln (\frac{2}{| - 3 |}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Etapa 11.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{| - 1 |}{| - 2 |})$

Etapa 11.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{1}{| - 2 |})$

Etapa 11.4

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \ln (\frac{2}{3}) + 2 \ln (\frac{1}{2})$

Forma decimal:

$- 0.98082925 \dots$

Etapa 13