Cálculo Exemplos

$\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 1$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7

Simplifique os termos.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Etapa 7.2

Multiplique $\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 7.3

Multiplique.

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Etapa 7.3.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 7.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum.

$\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 7.5

Divida ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0)$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Some $2 x$ e $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Etapa 11.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 11.3

Reordene os fatores de $2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$2 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$