Cálculo Exemplos

$\int x \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Depois, $d u = - 2 x d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 - x^{2}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$0 - 2 x$

Etapa 1.1.4

Subtraia $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 2.2

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- \frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 2} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{2}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 7.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- \frac{1}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$