Cálculo Exemplos

$\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 2$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3}{2} {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 7

Combine $\frac{3}{2}$ e ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Etapa 8

Multiplique $\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 10

Fatore $3$ de $3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 ({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}{6} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 11.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 14

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x + 0)$

Etapa 15

Simplifique os termos.

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Etapa 15.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} (2 x)$

Etapa 15.2

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2} x$

Etapa 15.3

Combine $\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 15.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$

Etapa 15.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.5.1

Divida ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ por $1$ .

${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$

Etapa 15.5.2

Reordene os fatores de ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} x$ .

$x {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$