Cálculo Exemplos

$2 x + y^{2} = 8$ , $x = y$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ por $y$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Substitua todas as ocorrências de $x$ em $2 x + y^{2} = 8$ por $y$ .

$2 (y) + y^{2} = 8$

$x = y$

Etapa 1.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique $2$ por $y$ .

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

$2 y + y^{2} = 8$

$x = y$

Etapa 1.2

Resolva $y$ em $2 y + y^{2} = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$2 y + y^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Deixe $u = y$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $y$ .

$2 u + u^{2} - 8 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $2 u + u^{2} - 8$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.2.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 8$ e cuja soma é $2$ .

$- 2, 4$

$x = y$

Etapa 1.2.2.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

$(u - 2) (u + 4) = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

$(y - 2) (y + 4) = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$y + 4 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.4

Defina $y - 2$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $y - 2$ como igual a $0$ .

$y - 2 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$y = 2$

$x = y$

$y = 2$

$x = y$

Etapa 1.2.5

Defina $y + 4$ como igual a $0$ e resolva para $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $y + 4$ como igual a $0$ .

$y + 4 = 0$

$x = y$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y = - 4$

$x = y$

$y = - 4$

$x = y$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(y - 2) (y + 4) = 0$ verdadeiro.

$y = 2, - 4$

$x = y$

$y = 2, - 4$

$x = y$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 1.3.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y$ por $2$ .

$x = 2$

$y = 2$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

$x = 2$

$y = 2$

Etapa 1.4

Substitua todas as ocorrências de $y$ por $- 4$ em cada equação.

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Etapa 1.4.1

Substitua todas as ocorrências de $y$ em $x = y$ por $- 4$ .

$x = - 4$

$y = - 4$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

$x = - 4$

$y = - 4$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

$(2, 2)$

$(- 4, - 4)$

Etapa 2

Resolva $2 x + y^{2} = 8$ em termos de $x$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x = 8 - y^{2}$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 x = 8 - y^{2}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 8 - y^{2}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{2} + \frac{- y^{2}}{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Divida $8$ por $2$ .

$x = 4 + \frac{- y^{2}}{2}$

Etapa 2.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = 4 - \frac{y^{2}}{2}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} d y - \int_{- 4}^{2} y d y$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 4$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - (y) d y$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $y$ .

$\int_{- 4}^{2} 4 - \frac{y^{2}}{2} - y d y$

Etapa 4.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 4}^{2} 4 d y + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Etapa 4.4

Aplique a regra da constante.

$4 y]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Etapa 4.5

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} \frac{y^{2}}{2} d y + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Etapa 4.6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $y$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} \int_{- 4}^{2} y^{2} d y) + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} + \int_{- 4}^{2} - y d y$

Etapa 4.8

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - \int_{- 4}^{2} y d y$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y$ com relação a $y$ é $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{1}{2} y^{2}]_{- 4}^{2})$

Etapa 4.10

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$4 y]_{- 4}^{2} - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Etapa 4.10.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.1

Avalie $4 y$ em $2$ e em $- 4$ .

$(4 \cdot 2) - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} \frac{1}{3} y^{3}]_{- 4}^{2} - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Etapa 4.10.2.2

Avalie $\frac{1}{3} y^{3}$ em $2$ e em $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{- 4}^{2})$

Etapa 4.10.2.3

Avalie $\frac{y^{2}}{2}$ em $2$ e em $- 4$ .

$4 \cdot 2 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 - 4 \cdot - 4 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.2

Multiplique $- 4$ por $- 4$ .

$8 + 16 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.3

Some $8$ e $16$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.5

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 4)}^{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.6

Eleve $- 4$ à potência de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 64) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.7

Multiplique $- 64$ por $- 1$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 64 (\frac{1}{3})) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.8

Combine $64$ e $\frac{1}{3}$ .

$24 - \frac{1}{2} (\frac{8}{3} + \frac{64}{3}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{8 + 64}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.10

Some $8$ e $64$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{72}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.11

Cancele o fator comum de $72$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.11.1

Fatore $3$ de $72$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.11.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.11.2.2

Cancele o fator comum.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3 \cdot 24}{3 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.11.2.3

Reescreva a expressão.

$24 - \frac{1}{2} \cdot \frac{24}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.11.2.4

Divida $24$ por $1$ .

$24 - \frac{1}{2} \cdot 24 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.12

Multiplique $24$ por $- 1$ .

$24 - 24 (\frac{1}{2}) - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.13

Combine $- 24$ e $\frac{1}{2}$ .

$24 + \frac{- 24}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.14

Cancele o fator comum de $- 24$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.14.1

Fatore $2$ de $- 24$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.14.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.14.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.14.2.2

Cancele o fator comum.

$24 + \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.14.2.3

Reescreva a expressão.

$24 + \frac{- 12}{1} - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.14.2.4

Divida $- 12$ por $1$ .

$24 - 12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.15

Subtraia $12$ de $24$ .

$12 - ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.16

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 - (\frac{4}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.17.1

Fatore $2$ de $4$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.17.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2.2

Cancele o fator comum.

$12 - (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2.3

Reescreva a expressão.

$12 - (\frac{2}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.17.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$12 - (2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Etapa 4.10.2.4.18

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$12 - (2 - \frac{16}{2})$

Etapa 4.10.2.4.19

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.19.1

Fatore $2$ de $16$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Etapa 4.10.2.4.19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.2.4.19.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Etapa 4.10.2.4.19.2.2

Cancele o fator comum.

$12 - (2 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Etapa 4.10.2.4.19.2.3

Reescreva a expressão.

$12 - (2 - \frac{8}{1})$

Etapa 4.10.2.4.19.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$12 - (2 - 1 \cdot 8)$

Etapa 4.10.2.4.20

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$12 - (2 - 8)$

Etapa 4.10.2.4.21

Subtraia $8$ de $2$ .

$12 - - 6$

Etapa 4.10.2.4.22

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$12 + 6$

Etapa 4.10.2.4.23

Some $12$ e $6$ .

$18$

Etapa 5