Cálculo Exemplos

$\int \sin^{3} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\sin^{2} (x)$ .

$\int \sin^{2} (x) \sin (x) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int (1 - \cos^{2} (x)) \sin (x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - 1 + u^{2} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$- u + C + \int u^{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 7

Simplifique.

$- u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- \cos (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x) + C$