Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} (x^{2} + 1) e^{- x} d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x^{2} + 1$ e $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} (2 x) d x$

Etapa 2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - 2 e^{- x} x d x$

Etapa 3

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} - (- 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x)$

Etapa 4

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 \int_{0}^{1} e^{- x} x d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x$ e $d v = e^{- x}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - e^{- x} d x)$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Etapa 7.2

Multiplique $\int_{0}^{1} e^{- x} d x$ por $1$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- x} d x)$

Etapa 8

Deixe $u = - x$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 8.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 8.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Etapa 8.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Etapa 8.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 1$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} + \int_{0}^{- 1} - e^{u} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{- 1} e^{u} d u)$

Etapa 10

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$(x^{2} + 1) (- e^{- x})]_{0}^{1} + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Etapa 11

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.1

Avalie $(x^{2} + 1) (- e^{- x})$ em $1$ e em $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 (x (- e^{- x})]_{0}^{1} - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Etapa 11.2

Avalie $x (- e^{- x})$ em $1$ e em $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - (e^{u}]_{0}^{- 1}))$

Etapa 11.3

Avalie $e^{u}$ em $- 1$ e em $0$ .

$((1^{2} + 1) (- e^{- 1 \cdot 1})) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4

Simplifique.

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Etapa 11.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$(1 + 1) (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.2

Some $1$ e $1$ .

$2 (- e^{- 1 \cdot 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 (- e^{- 1}) - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 e^{- 1} - (0^{2} + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 2 e^{- 1} - (0 + 1) (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.6

Some $0$ e $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{- 0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.8

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- e^{0}) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.9

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 (- 1 \cdot 1) + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{- 1} - 1 \cdot - 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.11

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 ((1 (- e^{- 1 \cdot 1})) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.12

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (1 (- e^{- 1}) + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.13

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{- 0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.14

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- e^{0}) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.15

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 (- 1 \cdot 1) - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 \cdot - 1 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.17

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} + 0 - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.18

Some $- e^{- 1}$ e $0$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - ((e^{- 1}) - e^{0}))$

Etapa 11.4.19

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1 \cdot 1))$

Etapa 11.4.20

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 2 e^{- 1} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- e^{- 1} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (e^{- 1} - 1))$

Etapa 12.1.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - (\frac{1}{e} - 1))$

Etapa 12.1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} - - 1)$

Etapa 12.1.4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (- \frac{1}{e} - \frac{1}{e} + 1)$

Etapa 12.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 1 - 1}{e})$

Etapa 12.1.6

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 + \frac{- 2}{e})$

Etapa 12.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 (1 - \frac{2}{e})$

Etapa 12.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 \cdot 1 + 2 (- \frac{2}{e})$

Etapa 12.1.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + 2 (- \frac{2}{e})$

Etapa 12.1.10

Multiplique $2 (- \frac{2}{e})$ .

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Etapa 12.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - 2 \frac{2}{e}$

Etapa 12.1.10.2

Combine $- 2$ e $\frac{2}{e}$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 2 \cdot 2}{e}$

Etapa 12.1.10.3

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 + \frac{- 4}{e}$

Etapa 12.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e} + 1 + 2 - \frac{4}{e}$

Etapa 12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$1 + 2 + \frac{- 2 - 4}{e}$

Etapa 12.3

Subtraia $4$ de $- 2$ .

$1 + 2 + \frac{- 6}{e}$

Etapa 12.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$1 + 2 - \frac{6}{e}$

Etapa 12.5

Some $1$ e $2$ .

$3 - \frac{6}{e}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$3 - \frac{6}{e}$

Forma decimal:

$0.79272335 \dots$

Etapa 14