Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1 + 7 x} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + 7 x$ . Depois, $d u = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + 7 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + 7 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + 7 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + 7 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 7 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$0 + 7$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $7$ .

$7$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 1 + 7 x$ .

$u_{lower} = 1 + 7 \cdot 0$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Etapa 1.3.2

Some $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 1 + 7 x$ .

$u_{upper} = 1 + 7 \cdot 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Multiplique $7$ por $1$ .

$u_{upper} = 1 + 7$

Etapa 1.5.2

Some $1$ e $7$ .

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} \frac{1}{7} d u$

Etapa 2

Combine $\sqrt[3]{u}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int_{1}^{8} \frac{\sqrt[3]{u}}{7} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} \sqrt[3]{u} d u$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{u}$ como $u^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{3}}$ com relação a $u$ é $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}]_{1}^{8}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.1

Avalie $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ em $8$ e em $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{3}{4} \cdot 8^{\frac{4}{3}}) - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot {(2^{3})}^{\frac{4}{3}} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{3 (\frac{4}{3})} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 2^{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.4

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3}{4} \cdot 16 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.5

Combine $\frac{3}{4}$ e $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.6

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{1}{7} (\frac{48}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7

Cancele o fator comum de $48$ e $4$ .

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Etapa 6.2.7.1

Fatore $4$ de $48$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.2.7.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 (1)} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{7} (\frac{4 \cdot 12}{4 \cdot 1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} (\frac{12}{1} - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.7.2.4

Divida $12$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1^{\frac{4}{3}})$

Etapa 6.2.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4} \cdot 1)$

Etapa 6.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{7} (12 - \frac{3}{4})$

Etapa 6.2.10

Para escrever $12$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (12 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 6.2.11

Combine $12$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{12 \cdot 4}{4} - \frac{3}{4})$

Etapa 6.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{7} \cdot \frac{12 \cdot 4 - 3}{4}$

Etapa 6.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.13.1

Multiplique $12$ por $4$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{48 - 3}{4}$

Etapa 6.2.13.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$\frac{1}{7} \cdot \frac{45}{4}$

Etapa 6.2.14

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{45}{4}$ .

$\frac{45}{7 \cdot 4}$

Etapa 6.2.15

Multiplique $7$ por $4$ .

$\frac{45}{28}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{45}{28}$

Forma decimal:

$1.60714285 \dots$

Forma de número misto:

$1 \frac{17}{28}$

Etapa 8