Cálculo Exemplos

$B (x) = 375 x^{2} - 3750 x^{3}$ , $0 \leq x \leq 0.1$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $375 x^{2} - 3750 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [375 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [375 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [375 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $375$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $375 x^{2}$ em relação a $x$ é $375 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$375 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$375 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $375$ .

$750 x + \frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3750 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 3750$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3750 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3750 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$750 x - 3750 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$750 x - 3750 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3750$ .

$750 x - 11250 x^{2}$

Etapa 1.1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 11250 x^{2} + 750 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $B (x)$ com relação a $x$ é $- 11250 x^{2} + 750 x$ .

$- 11250 x^{2} + 750 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 11250 x^{2} + 750 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 11250 x^{2} + 750 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $- 750 x$ de $- 11250 x^{2} + 750 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 750 x$ de $- 11250 x^{2}$ .

$- 750 x (15 x) + 750 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $- 750 x$ de $750 x$ .

$- 750 x (15 x) - 750 x \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $- 750 x$ de $- 750 x (15 x) - 750 x (- 1)$ .

$- 750 x (15 x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$15 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $15 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $15 x - 1$ como igual a $0$ .

$15 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Resolva $15 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$15 x = 1$

Etapa 1.2.5.2.2

Divida cada termo em $15 x = 1$ por $15$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.1

Divida cada termo em $15 x = 1$ por $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15}$

Etapa 1.2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 x}{15} = \frac{1}{15}$

Etapa 1.2.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{15}$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 750 x (15 x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{1}{15}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $375 x^{2} - 3750 x^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$375 {(0)}^{2} - 3750 {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$375 \cdot 0 - 3750 {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $375$ por $0$ .

$0 - 3750 {(0)}^{3}$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3750 \cdot 0$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 3750$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = \frac{1}{15}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $\frac{1}{15}$ por $x$ .

$375 {(\frac{1}{15})}^{2} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{15}$ .

$375 \frac{1^{2}}{15^{2}} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$375 \frac{1}{15^{2}} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$375 (\frac{1}{225}) - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $75$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.4.1

Fatore $75$ de $375$ .

$75 (5) \frac{1}{225} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.4.2

Fatore $75$ de $225$ .

$75 \cdot 5 \frac{1}{75 \cdot 3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$75 \cdot 5 \frac{1}{75 \cdot 3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{1}{3}) - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3} - 3750 {(\frac{1}{15})}^{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{15}$ .

$\frac{5}{3} - 3750 \frac{1^{3}}{15^{3}}$

Etapa 1.4.2.2.1.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{5}{3} - 3750 \frac{1}{15^{3}}$

Etapa 1.4.2.2.1.8

Eleve $15$ à potência de $3$ .

$\frac{5}{3} - 3750 (\frac{1}{3375})$

Etapa 1.4.2.2.1.9

Cancele o fator comum de $375$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.9.1

Fatore $375$ de $- 3750$ .

$\frac{5}{3} + 375 (- 10) \frac{1}{3375}$

Etapa 1.4.2.2.1.9.2

Fatore $375$ de $3375$ .

$\frac{5}{3} + 375 \cdot - 10 \frac{1}{375 \cdot 9}$

Etapa 1.4.2.2.1.9.3

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{3} + 375 \cdot - 10 \frac{1}{375 \cdot 9}$

Etapa 1.4.2.2.1.9.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{3} - 10 (\frac{1}{9})$

Etapa 1.4.2.2.1.10

Combine $- 10$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{5}{3} - \frac{10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.2

Para escrever $\frac{5}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $9$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1

Multiplique $\frac{5}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{5 \cdot 3}{9} - \frac{10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 \cdot 3 - 10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.5.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$\frac{15 - 10}{9}$

Etapa 1.4.2.2.5.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$\frac{5}{9}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\frac{1}{15}, \frac{5}{9})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$375 {(0)}^{2} - 3750 {(0)}^{3}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$375 \cdot 0 - 3750 {(0)}^{3}$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $375$ por $0$ .

$0 - 3750 {(0)}^{3}$

Etapa 2.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3750 \cdot 0$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 3750$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 2.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 0.1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $0.1$ por $x$ .

$375 {(0.1)}^{2} - 3750 {(0.1)}^{3}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $0.1$ à potência de $2$ .

$375 \cdot 0.01 - 3750 {(0.1)}^{3}$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $375$ por $0.01$ .

$3.75 - 3750 {(0.1)}^{3}$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $0.1$ à potência de $3$ .

$3.75 - 3750 \cdot 0.001$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 3750$ por $0.001$ .

$3.75 - 3.75$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $3.75$ de $3.75$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (0.1, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $B (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $B (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $B (x)$ .

Máximo absoluto: $(\frac{1}{15}, \frac{5}{9})$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (0.1, 0)$

Etapa 4