Cálculo Exemplos

$y = x + \sin (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = 1 + \cos (x)$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $1 + \cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + \cos (x) = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$1 + \cos (x) = 0$

Etapa 1.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\cos (x) = - 1$

Etapa 1.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 1.2.6

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 1.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 1.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 1.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 1.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x + \sin (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = π$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $π$ por $x$ .

$(π) + \sin (π)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$π + \sin (0)$

Etapa 1.4.1.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$π + 0$

Etapa 1.4.1.2.2

Some $π$ e $0$ .

$π$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 3 π$ .

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Etapa 1.4.2.1

Substitua $3 π$ por $x$ .

$(3 π) + \sin (3 π)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$3 π + \sin (π)$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$3 π + \sin (0)$

Etapa 1.4.2.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$3 π + 0$

Etapa 1.4.2.2.2

Some $3 π$ e $0$ .

$3 π$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 5 π$ .

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Etapa 1.4.3.1

Substitua $5 π$ por $x$ .

$(5 π) + \sin (5 π)$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.3.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$5 π + \sin (π)$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$5 π + \sin (0)$

Etapa 1.4.3.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$5 π + 0$

Etapa 1.4.3.2.2

Some $5 π$ e $0$ .

$5 π$

Etapa 1.4.4

Avalie em $x = 7 π$ .

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Etapa 1.4.4.1

Substitua $7 π$ por $x$ .

$(7 π) + \sin (7 π)$

Etapa 1.4.4.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.4.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$7 π + \sin (π)$

Etapa 1.4.4.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$7 π + \sin (0)$

Etapa 1.4.4.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$7 π + 0$

Etapa 1.4.4.2.2

Some $7 π$ e $0$ .

$7 π$

Etapa 1.4.5

Avalie em $x = 9 π$ .

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Etapa 1.4.5.1

Substitua $9 π$ por $x$ .

$(9 π) + \sin (9 π)$

Etapa 1.4.5.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.5.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$9 π + \sin (π)$

Etapa 1.4.5.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$9 π + \sin (0)$

Etapa 1.4.5.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$9 π + 0$

Etapa 1.4.5.2.2

Some $9 π$ e $0$ .

$9 π$

Etapa 1.4.6

Liste todos os pontos.

$(π, π), (3 π, 3 π), (5 π, 5 π), (7 π, 7 π), (9 π, 9 π)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(π, π)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 3.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$(0) + \sin (0)$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.1.2.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 + 0$

Etapa 3.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2 π$ .

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Etapa 3.2.1

Substitua $2 π$ por $x$ .

$(2 π) + \sin (2 π)$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$2 π + \sin (0)$

Etapa 3.2.2.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 π + 0$

Etapa 3.2.2.2

Some $2 π$ e $0$ .

$2 π$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (2 π, 2 π)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(2 π, 2 π)$

Mínimo absoluto: $(0, 0)$

Etapa 5