Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ , $[- 1, 2]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [28 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [28 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x^{2}$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 28 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $28$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 60 x^{2} + 56 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 60 x^{2} + 56 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 60 x^{2}$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 56 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $4 x$ de $56 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x) + 4 x (14) = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 15 x)$ .

$4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14) = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2} - 15 x) + 4 x (14)$ .

$4 x (x^{2} - 15 x + 14) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 15 x + 14$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $- 15$ .

$- 14, - 1$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 x ((x - 14) (x - 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x - 14) (x - 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 14 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 14$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 14$ como igual a $0$ .

$x - 14 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $14$ aos dois lados da equação.

$x = 14$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x - 14) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 14, 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{4} - 20 x^{3} + 28 x^{2} - 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 20 {(0)}^{3} + 28 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 20 \cdot 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 20$ por $0$ .

$0 + 0 + 28 {(0)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 0 + 28 \cdot 0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $28$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 - 4$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Subtraia $4$ de $0$ .

$- 4$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 14$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $14$ por $x$ .

${(14)}^{4} - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $14$ à potência de $4$ .

$38416 - 20 {(14)}^{3} + 28 {(14)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $14$ à potência de $3$ .

$38416 - 20 \cdot 2744 + 28 {(14)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 20$ por $2744$ .

$38416 - 54880 + 28 {(14)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$38416 - 54880 + 28 \cdot 196 - 4$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $28$ por $196$ .

$38416 - 54880 + 5488 - 4$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $54880$ de $38416$ .

$- 16464 + 5488 - 4$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 16464$ e $5488$ .

$- 10976 - 4$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Subtraia $4$ de $- 10976$ .

$- 10980$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 20 {(1)}^{3} + 28 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 20 \cdot 1 + 28 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.3.2.1.3

Multiplique $- 20$ por $1$ .

$1 - 20 + 28 {(1)}^{2} - 4$

Etapa 1.4.3.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 - 20 + 28 \cdot 1 - 4$

Etapa 1.4.3.2.1.5

Multiplique $28$ por $1$ .

$1 - 20 + 28 - 4$

Etapa 1.4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.2.1

Subtraia $20$ de $1$ .

$- 19 + 28 - 4$

Etapa 1.4.3.2.2.2

Some $- 19$ e $28$ .

$9 - 4$

Etapa 1.4.3.2.2.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$5$

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, - 4), (14, - 10980), (1, 5)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(0, - 4), (1, 5)$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{4} - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$1 - 20 {(- 1)}^{3} + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1 - 20 \cdot - 1 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 20$ por $- 1$ .

$1 + 20 + 28 {(- 1)}^{2} - 4$

Etapa 3.1.2.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 + 20 + 28 \cdot 1 - 4$

Etapa 3.1.2.1.5

Multiplique $28$ por $1$ .

$1 + 20 + 28 - 4$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some $1$ e $20$ .

$21 + 28 - 4$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $21$ e $28$ .

$49 - 4$

Etapa 3.1.2.2.3

Subtraia $4$ de $49$ .

$45$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{4} - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 20 {(2)}^{3} + 28 {(2)}^{2} - 4$

Etapa 3.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$16 - 20 \cdot 8 + 28 {(2)}^{2} - 4$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 20$ por $8$ .

$16 - 160 + 28 {(2)}^{2} - 4$

Etapa 3.2.2.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 160 + 28 \cdot 4 - 4$

Etapa 3.2.2.1.5

Multiplique $28$ por $4$ .

$16 - 160 + 112 - 4$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Subtraia $160$ de $16$ .

$- 144 + 112 - 4$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $- 144$ e $112$ .

$- 32 - 4$

Etapa 3.2.2.2.3

Subtraia $4$ de $- 32$ .

$- 36$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 45), (2, - 36)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, 45)$

Mínimo absoluto: $(2, - 36)$

Etapa 5