Cálculo Exemplos

$f (x) = 9 x^{\frac{2}{3}} - x$ on $0$ , $729$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$9 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$9 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.9

Combine $9$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{9 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.10

Multiplique $2$ por $9$ .

$\frac{18 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{18}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.12

Fatore $3$ de $18$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot 6}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.13.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.2.13.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$

Etapa 1.2.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 1.2.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique cada termo em $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} = 1$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 = 1 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.3.1

Multiplique $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$6 = x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1.2.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Reescreva a equação como $x^{\frac{1}{3}} = 6$ .

$x^{\frac{1}{3}} = 6$

Etapa 1.2.5.2

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 6^{3}$

Etapa 1.2.5.3

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 6^{3}$

Etapa 1.2.5.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 6^{3}$

Etapa 1.2.5.3.1.1.2

Simplifique.

$x = 6^{3}$

Etapa 1.2.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.3.2.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$x = 216$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 1$

Etapa 1.3.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{6}{\sqrt[3]{x}} - 1$

Etapa 1.3.2

Defina o denominador em $\frac{6}{\sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 1.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{3}$

Etapa 1.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.4

Avalie $9 x^{\frac{2}{3}} - x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 216$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $216$ por $x$ .

$9 {(216)}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Reescreva $216$ como $6^{3}$ .

$9 {(6^{3})}^{\frac{2}{3}} - (216)$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 6^{3 (\frac{2}{3})} - (216)$

Etapa 1.4.1.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$9 \cdot 6^{2} - (216)$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$9 \cdot 36 - (216)$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $9$ por $36$ .

$324 - (216)$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $216$ .

$324 - 216$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $216$ de $324$ .

$108$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Etapa 1.4.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Etapa 1.4.2.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 - (0)$

Etapa 1.4.2.2.3.3

Subtraia $0$ de $0$ .

$0$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(216, 108), (0, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$9 {(0)}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - (0)$

Etapa 2.1.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - (0)$

Etapa 2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$9 \cdot 0^{2} - (0)$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$9 \cdot 0 - (0)$

Etapa 2.1.2.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$0 - (0)$

Etapa 2.1.2.3.3

Subtraia $0$ de $0$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 729$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $729$ por $x$ .

$9 {(729)}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Reescreva $729$ como $9^{3}$ .

$9 {(9^{3})}^{\frac{2}{3}} - (729)$

Etapa 2.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Etapa 2.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$9 \cdot 9^{3 (\frac{2}{3})} - (729)$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$9 \cdot 9^{2} - (729)$

Etapa 2.2.2.1.4

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$9 \cdot 81 - (729)$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $9$ por $81$ .

$729 - (729)$

Etapa 2.2.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $729$ .

$729 - 729$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $729$ de $729$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (729, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(216, 108)$

Mínimo absoluto: $(0, 0), (729, 0)$

Etapa 4