Cálculo Exemplos

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $16$ por $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 15)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- 6 x + 16$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 16$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{2}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $8$ .

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 16 x - 15$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = - 3$ , $b = 16$ e $c = - 15$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4

Simplifique.

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Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.3

Subtraia $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 5.4.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.5.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.3

Subtraia $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 5.5.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ .

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Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $12$ por $- 15$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.3

Subtraia $180$ de $256$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 9.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (8 + \sqrt{19}) + 16$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 8 - 2 \sqrt{19} + 16$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 - 2 \sqrt{19} + 16$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 9.2.1

Some $- 16$ e $16$ .

$0 - 2 \sqrt{19}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2 \sqrt{19}$ de $0$ .

$- 2 \sqrt{19}$

Etapa 10

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.3

Use o teorema binomial.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.4.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $64$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.4

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.5

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 11.2.1.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.6

Multiplique $24$ por $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.7

Reescreva ${\sqrt{19}}^{3}$ como $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.8

Eleve $19$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.9

Reescreva $6859$ como $19^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 11.2.1.4.9.1

Fatore $361$ de $6859$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.9.2

Reescreva $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.4.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.5

Some $512$ e $456$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 192 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.6

Some $192 \sqrt{19}$ e $19 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.9

Reescreva ${(8 + \sqrt{19})}^{2}$ como $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.10

Expanda $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.11.1.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.1.2

Mova $8$ para a esquerda de $\sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.1.4

Multiplique $19$ por $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.1.5

Reescreva $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.2

Some $64$ e $19$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.11.3

Some $8 \sqrt{19}$ e $8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.12

Combine $8$ e $\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

Etapa 11.2.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.1.13.1

Fatore $3$ de $- 15$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Etapa 11.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

Etapa 11.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 + \sqrt{19})$

Etapa 11.2.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.1.15

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.2

Para escrever $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.3.1

Multiplique $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 + 211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $968$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.3

Multiplique $211$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.5

Multiplique $8$ por $83$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.6

Multiplique $16$ por $8$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.8

Multiplique $664$ por $3$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.9

Multiplique $3$ por $128$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.10

Some $- 968$ e $1992$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 211 \sqrt{19} + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.5.11

Some $- 211 \sqrt{19}$ e $384 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.6

Para escrever $- 40$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.7

Combine $- 40$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.8.2

Multiplique $- 40$ por $27$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 1080}{27} - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.8.3

Subtraia $1080$ de $1024$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19}$

Etapa 11.2.9

Para escrever $- 5 \sqrt{19}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 11.2.10

Combine frações.

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Etapa 11.2.10.1

Combine $- 5 \sqrt{19}$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.10.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Etapa 11.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.11.1

Multiplique $27$ por $- 5$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 135 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 11.2.11.2

Subtraia $135 \sqrt{19}$ de $173 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 11.2.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 11.2.12.1

Reescreva $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 11.2.12.2

Fatore $- 1$ de $38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (- 38 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 11.2.12.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (56) - (- 38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 - 38 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 11.2.12.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 11.2.13

A resposta final é $- \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 6 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot - 2 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (8 - \sqrt{19}) + 16$

Etapa 13.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 8 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Etapa 13.1.3

Multiplique $- 2$ por $8$ .

$- 16 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 16 + 2 \sqrt{19} + 16$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 13.2.1

Some $- 16$ e $16$ .

$0 + 2 \sqrt{19}$

Etapa 13.2.2

Some $0$ e $2 \sqrt{19}$ .

$2 \sqrt{19}$

Etapa 14

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.3

Use o teorema binomial.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.4.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.2

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.3

Multiplique $3$ por $64$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.4

Multiplique $- 1$ por $192$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.5

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.6

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.8

Multiplique ${\sqrt{19}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.9

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 15.2.1.4.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.4.9.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.9.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.9.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.10

Multiplique $24$ por $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.11

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.13

Reescreva ${\sqrt{19}}^{3}$ como $\sqrt{19^{3}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.14

Eleve $19$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.15

Reescreva $6859$ como $19^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 15.2.1.4.15.1

Fatore $361$ de $6859$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.15.2

Reescreva $361$ como $19^{2}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.16

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - (19 \sqrt{19})}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.4.17

Multiplique $19$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.5

Some $512$ e $456$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 192 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.6

Subtraia $19 \sqrt{19}$ de $- 192 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.7

Aplique a regra do produto a $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.8

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.9

Reescreva ${(8 - \sqrt{19})}^{2}$ como $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.10

Expanda $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.2.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.2.1.11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.11.1.1

Multiplique $8$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.2

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.3

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.4

Multiplique $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ .

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Etapa 15.2.1.11.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.4.2

Multiplique $\sqrt{19}$ por $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.4.3

Eleve $\sqrt{19}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.4.4

Eleve $\sqrt{19}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.5

Reescreva ${\sqrt{19}}^{2}$ como $19$ .

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Etapa 15.2.1.11.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{19}$ como $19^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.11.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.2

Some $64$ e $19$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.11.3

Subtraia $8 \sqrt{19}$ de $- 8 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.12

Combine $8$ e $\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

Etapa 15.2.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.2.1.13.1

Fatore $3$ de $- 15$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Etapa 15.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

Etapa 15.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 - \sqrt{19})$

Etapa 15.2.1.14

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 (- \sqrt{19})$

Etapa 15.2.1.15

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 (- \sqrt{19})$

Etapa 15.2.1.16

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.2

Para escrever $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 15.2.3.1

Multiplique $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 - 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.2

Multiplique $- 1$ por $968$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.3

Multiplique $- 211$ por $- 1$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.5

Multiplique $8$ por $83$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.6

Multiplique $- 16$ por $8$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 - 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.8

Multiplique $664$ por $3$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.9

Multiplique $3$ por $- 128$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.10

Some $- 968$ e $1992$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 211 \sqrt{19} - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.5.11

Subtraia $384 \sqrt{19}$ de $211 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.6

Para escrever $- 40$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.7

Combine $- 40$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.8.2

Multiplique $- 40$ por $27$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 1080}{27} + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.8.3

Subtraia $1080$ de $1024$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19}$

Etapa 15.2.9

Para escrever $5 \sqrt{19}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 15.2.10

Combine frações.

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Etapa 15.2.10.1

Combine $5 \sqrt{19}$ e $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.10.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.11.1

Multiplique $27$ por $5$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 135 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.11.2

Some $- 173 \sqrt{19}$ e $135 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.12

Simplifique com fatoração.

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Etapa 15.2.12.1

Reescreva $- 56$ como $- 1 (56)$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.12.2

Fatore $- 1$ de $- 38 \sqrt{19}$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (38 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 15.2.12.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (56) - (38 \sqrt{19})$ .

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 + 38 \sqrt{19})}{27}$

Etapa 15.2.12.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 15.2.13

A resposta final é $- \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$ .

$y = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ .

$(\frac{8 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27})$ é um máximo local

$(\frac{8 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27})$ é um mínimo local

Etapa 17