Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ , $- 1 \leq x \leq 2$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $x^{2} + 3$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.7

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.8.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - (x + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.2.8.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x + 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 + (- 2 x - 2 \cdot 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 \cdot 1 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2} - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3 - 2 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.4

Reordene os termos.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$\frac{- x^{2} - 2 (x) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.2

Reescreva $- 2$ como $1$ mais $- 3$

$\frac{- x^{2} + (1 - 3) x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} + 1 x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{- x^{2} + x - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.5.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(- x^{2} + x) - 3 x + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 1) + 3 (- x + 1)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.5.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 1$ .

$\frac{(- x + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.6

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.7

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 1)) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.8

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.9

Reescreva $- (x - 1)$ como $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.1.3.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{(x - 1) (x + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0$

Etapa 1.2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$(x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.3.2

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.2.3.3

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.3.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.3.3.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $\frac{x + 1}{x^{2} + 3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{(1) + 1}{{(1)}^{2} + 3}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{1^{2} + 3}$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2}{1 + 3}$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2}{4}$

Etapa 1.4.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{4}$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.4.1.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$\frac{(- 3) + 1}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Some $- 3$ e $1$ .

$\frac{- 2}{{(- 3)}^{2} + 3}$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2}{9 + 3}$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $9$ e $3$ .

$\frac{- 2}{12}$

Etapa 1.4.2.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{12}$

Etapa 1.4.2.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Etapa 1.4.2.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 6}$

Etapa 1.4.2.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1}{6}$

Etapa 1.4.2.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{6}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(1, \frac{1}{2}), (- 3, - \frac{1}{6})$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(1, \frac{1}{2})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{(- 1) + 1}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{1 + 3}$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{0}{4}$

Etapa 3.1.2.3

Divida $0$ por $4$ .

$0$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{(2) + 1}{{(2)}^{2} + 3}$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3}{2^{2} + 3}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{3}{4 + 3}$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $4$ e $3$ .

$\frac{3}{7}$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 0), (2, \frac{3}{7})$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(1, \frac{1}{2})$

Mínimo absoluto: $(- 1, 0)$

Etapa 5