Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x^{2} - 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - x^{2} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 2 x + 1$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx - 0.88464617$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 0.88464617$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.88464617$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $- 0.88464617$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0.78259885$ .

$9.3911863 - 2$

Etapa 9.2

Subtraia $2$ de $9.3911863$ .

$7.3911863$

Etapa 10

$x = - 0.88464617$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.88464617$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 0.88464617$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.88464617$ na expressão.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Remova os parênteses.

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1

Eleve $- 0.88464617$ à potência de $4$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

Etapa 11.2.2.2

Eleve $- 0.88464617$ à potência de $2$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

Etapa 11.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $0.78259885$ .

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

Etapa 11.2.3

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 11.2.3.1

Subtraia $0.78259885$ de $0.61246097$ .

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

Etapa 11.2.3.2

Subtraia $0.88464617$ de $- 0.17013788$ .

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- 1.05478406$ .

$y = - 1.05478406$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ .

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ é um mínimo local

Etapa 13