Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ on $2$ , $7$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 27 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 27 (2 x) + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 27$ .

$6 x^{2} - 54 x + \frac{d}{d x} [108 x]$

Etapa 1.1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [108 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $108 x$ em relação a $x$ é $108 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.4.3

Multiplique $108$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 54 x + 108$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 54 x + 108 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 54 x + 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 54 x + 108 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $6$ de $- 54 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 9 x) + 108 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $6$ de $108$ .

$6 x^{2} + 6 (- 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 9 x)$ .

$6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 9 x) + 6 \cdot 18$ .

$6 (x^{2} - 9 x + 18) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - 9 x + 18$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $18$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 6, - 3$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 6) (x - 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 6) (x - 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 6) (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 3$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $2 x^{3} - 27 x^{2} + 108 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $6$ por $x$ .

$2 {(6)}^{3} - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 216 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $216$ .

$432 - 27 {(6)}^{2} + 108 (6)$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$432 - 27 \cdot 36 + 108 (6)$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 27$ por $36$ .

$432 - 972 + 108 (6)$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique $108$ por $6$ .

$432 - 972 + 648$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $972$ de $432$ .

$- 540 + 648$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $- 540$ e $648$ .

$108$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{3} - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 27 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$54 - 27 {(3)}^{2} + 108 (3)$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$54 - 27 \cdot 9 + 108 (3)$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 27$ por $9$ .

$54 - 243 + 108 (3)$

Etapa 1.4.2.2.1.5

Multiplique $108$ por $3$ .

$54 - 243 + 324$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $243$ de $54$ .

$- 189 + 324$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 189$ e $324$ .

$135$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(6, 108), (3, 135)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$2 {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$2^{1} {(2)}^{3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Etapa 2.1.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{1 + 3} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Etapa 2.1.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{4} - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Etapa 2.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$16 - 27 {(2)}^{2} + 108 (2)$

Etapa 2.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$16 - 27 \cdot 4 + 108 (2)$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 27$ por $4$ .

$16 - 108 + 108 (2)$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $108$ por $2$ .

$16 - 108 + 216$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $108$ de $16$ .

$- 92 + 216$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 92$ e $216$ .

$124$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $7$ por $x$ .

$2 {(7)}^{3} - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$2 \cdot 343 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $343$ .

$686 - 27 {(7)}^{2} + 108 (7)$

Etapa 2.2.2.1.3

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$686 - 27 \cdot 49 + 108 (7)$

Etapa 2.2.2.1.4

Multiplique $- 27$ por $49$ .

$686 - 1323 + 108 (7)$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $108$ por $7$ .

$686 - 1323 + 756$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $1323$ de $686$ .

$- 637 + 756$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $- 637$ e $756$ .

$119$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(2, 124), (7, 119)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(3, 135)$

Mínimo absoluto: $(6, 108)$

Etapa 4