Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ , $[- 2, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- \frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.5

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.6

Combine $\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.7

Cancele o fator comum de $- 6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.1

Fatore $2$ de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.7.2.2

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.7.2.3

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.2.7.2.4

Divida $- 3 x$ por $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 \cdot 1$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 6$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 3 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 3 x - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $3$ de $- 3 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 6 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $3$ de $- 6$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Fatore $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - x) + 3 (- 2)$ .

$3 (x^{2} - x - 2) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2} - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2.2

Fatore $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2.3

Cancele o fator comum.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.2.4

Reescreva a expressão.

$8 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$8 - 6 - 6 \cdot 2$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$8 - 6 - 12$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Subtraia $6$ de $8$ .

$2 - 12$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Subtraia $12$ de $2$ .

$- 10$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} - 6 \cdot - 1$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$- 1 - \frac{3}{2} + 6$

Etapa 1.4.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 1}{1} - \frac{3}{2} + 6$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 6$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + 6$

Etapa 1.4.2.2.2.4

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{6}{1}$

Etapa 1.4.2.2.2.5

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 1.4.2.2.2.6

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 3 + 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 1.4.2.2.4.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{- 2 - 3 + 12}{2}$

Etapa 1.4.2.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.5.1

Subtraia $3$ de $- 2$ .

$\frac{- 5 + 12}{2}$

Etapa 1.4.2.2.5.2

Some $- 5$ e $12$ .

$\frac{7}{2}$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(2, - 10), (- 1, \frac{7}{2})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - \frac{3}{2} \cdot {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 - \frac{3}{2} \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3}{2}$ para o numerador.

$- 8 + \frac{- 3}{2} \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.3.2

Fatore $2$ de $4$ .

$- 8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (2)) - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$- 8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- 8 - 3 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$- 8 - 6 - 6 \cdot - 2$

Etapa 2.1.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$- 8 - 6 + 12$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $6$ de $- 8$ .

$- 14 + 12$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 14$ e $12$ .

$- 2$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua $3$ por $x$ .

${(3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 - \frac{3}{2} \cdot {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- \frac{3}{2} \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.3.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$27 - 9 (\frac{3}{2}) - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Combine $- 9$ e $\frac{3}{2}$ .

$27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.1.3.3

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$27 + \frac{- 27}{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$27 - \frac{27}{2} - 6 \cdot 3$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$27 - \frac{27}{2} - 18$

Etapa 2.2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Escreva $27$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{27}{1} - \frac{27}{2} - 18$

Etapa 2.2.2.2.2

Multiplique $\frac{27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} - 18$

Etapa 2.2.2.2.3

Multiplique $\frac{27}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} - 18$

Etapa 2.2.2.2.4

Escreva $- 18$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{- 18}{1}$

Etapa 2.2.2.2.5

Multiplique $\frac{- 18}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{- 18}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.2.2.2.6

Multiplique $\frac{- 18}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{27 \cdot 2 - 27 - 18 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.4.1

Multiplique $27$ por $2$ .

$\frac{54 - 27 - 18 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.4.2

Multiplique $- 18$ por $2$ .

$\frac{54 - 27 - 36}{2}$

Etapa 2.2.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Subtraia $27$ de $54$ .

$\frac{27 - 36}{2}$

Etapa 2.2.2.5.2

Subtraia $36$ de $27$ .

$\frac{- 9}{2}$

Etapa 2.2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{9}{2}$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, - 2), (3, - \frac{9}{2})$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- 1, \frac{7}{2})$

Mínimo absoluto: $(2, - 10)$

Etapa 4