Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x)=x^3-3x+1 on [0,2]
on
Etapa 1
Encontre os pontos críticos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.1.1.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.1.1.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.3.2
Some e .
Etapa 1.1.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 1.2.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 1.2.3
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.2.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.3.2.1.2
Divida por .
Etapa 1.2.3.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.3.1
Divida por .
Etapa 1.2.4
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 1.2.5
Qualquer raiz de é .
Etapa 1.2.6
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 1.2.6.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 1.2.6.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 1.3
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 1.4
Avalie em cada valor em que a derivada é ou indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Substitua por .
Etapa 1.4.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 1.4.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.1.2.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.2.1
Subtraia de .
Etapa 1.4.1.2.2.2
Some e .
Etapa 1.4.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Substitua por .
Etapa 1.4.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.4.2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.4.2.2.2
Simplifique somando os números.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.2.1
Some e .
Etapa 1.4.2.2.2.2
Some e .
Etapa 1.4.3
Liste todos os pontos.
Etapa 2
Exclua os pontos que não estão no intervalo.
Etapa 3
Use o teste da primeira derivada para determinar quais pontos podem ser máximos ou mínimos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 3.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.2.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 3.2.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 3.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 3.2.2.3
A resposta final é .
Etapa 3.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.2.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 3.3.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 3.3.2.2
Subtraia de .
Etapa 3.3.2.3
A resposta final é .
Etapa 3.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 3.4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.4.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 3.4.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 3.4.2.2
Subtraia de .
Etapa 3.4.2.3
A resposta final é .
Etapa 3.5
Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de , então é um máximo local.
é um máximo local
Etapa 3.6
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 3.7
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
é um mínimo local
é um máximo local
é um mínimo local
Etapa 4
Compare os valores de encontrados para cada valor de para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de .
Nenhum máximo absoluto
Mínimo absoluto:
Etapa 5