Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x)=cos(x+pi/4) , 0<=x<=2pi
,
Etapa 1
Encontre os pontos críticos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.1.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.1.1.1.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.1.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.1.1.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.1.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.1.1.2.3
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.1.1.2.4
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1.1.2.4.1
Some e .
Etapa 1.1.1.2.4.2
Multiplique por .
Etapa 1.1.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 1.2.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 1.2.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 1.2.2.2.2
Divida por .
Etapa 1.2.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.2.3.1
Divida por .
Etapa 1.2.3
Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair de dentro do seno.
Etapa 1.2.4
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
O valor exato de é .
Etapa 1.2.5
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.2.6
A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de para determinar a solução no segundo quadrante.
Etapa 1.2.7
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.7.1
Subtraia de .
Etapa 1.2.7.2
Mova todos os termos que não contêm para o lado direito da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.7.2.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 1.2.7.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.7.2.3
Combine e .
Etapa 1.2.7.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.7.2.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.7.2.5.1
Mova para a esquerda de .
Etapa 1.2.7.2.5.2
Subtraia de .
Etapa 1.2.8
Encontre o período de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.8.1
O período da função pode ser calculado ao usar .
Etapa 1.2.8.2
Substitua por na fórmula do período.
Etapa 1.2.8.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre e é .
Etapa 1.2.8.4
Divida por .
Etapa 1.2.9
Some com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.9.1
Some com para encontrar o ângulo positivo.
Etapa 1.2.9.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.9.3
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.9.3.1
Combine e .
Etapa 1.2.9.3.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.9.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.9.4.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.9.4.2
Subtraia de .
Etapa 1.2.9.5
Liste os novos ângulos.
Etapa 1.2.10
O período da função é . Portanto, os valores se repetirão a cada radianos nas duas direções.
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.2.11
Consolide as respostas.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 1.3
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 1.4
Avalie em cada valor em que a derivada é ou indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.1
Substitua por .
Etapa 1.4.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.4.1.2.2
Some e .
Etapa 1.4.1.2.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1.2.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.1.2.3.2
Divida por .
Etapa 1.4.1.2.4
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.
Etapa 1.4.1.2.5
O valor exato de é .
Etapa 1.4.1.2.6
Multiplique por .
Etapa 1.4.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.1
Substitua por .
Etapa 1.4.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.4.2.2.2
Some e .
Etapa 1.4.2.2.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.3.1
Fatore de .
Etapa 1.4.2.2.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.2.2.3.2.1
Fatore de .
Etapa 1.4.2.2.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.4.2.2.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.4.2.2.3.2.4
Divida por .
Etapa 1.4.2.2.4
Subtraia as rotações completas de até que o ângulo fique maior do que ou igual a e menor do que .
Etapa 1.4.2.2.5
O valor exato de é .
Etapa 1.4.3
Liste todos os pontos.
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
, para qualquer número inteiro
Etapa 2
Exclua os pontos que não estão no intervalo.
Etapa 3
Avalie nos pontos finais incluídos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.1
Substitua por .
Etapa 3.1.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1.2.1
Some e .
Etapa 3.1.2.2
O valor exato de é .
Etapa 3.2
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Substitua por .
Etapa 3.2.2
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.1
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 3.2.2.2
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.2.1
Combine e .
Etapa 3.2.2.2.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 3.2.2.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 3.2.2.3.2
Some e .
Etapa 3.2.2.4
Subtraia as rotações completas de até que o ângulo fique maior do que ou igual a e menor do que .
Etapa 3.2.2.5
O valor exato de é .
Etapa 3.3
Liste todos os pontos.
Etapa 4
Compare os valores de encontrados para cada valor de para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de .
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto:
Etapa 5