Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x)=3x^(2/3)-2x
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.2.4
Combine e .
Etapa 1.2.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.2.6
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.2.6.2
Subtraia de .
Etapa 1.2.7
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.2.8
Combine e .
Etapa 1.2.9
Combine e .
Etapa 1.2.10
Multiplique por .
Etapa 1.2.11
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 1.2.12
Fatore de .
Etapa 1.2.13
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.13.1
Fatore de .
Etapa 1.2.13.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.13.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.3
Multiplique por .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Reescreva como .
Etapa 2.2.3
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.3.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.5
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.5.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.2.5.2
Combine e .
Etapa 2.2.5.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.6
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 2.2.7
Combine e .
Etapa 2.2.8
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.2.9
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.9.1
Multiplique por .
Etapa 2.2.9.2
Subtraia de .
Etapa 2.2.10
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.11
Combine e .
Etapa 2.2.12
Combine e .
Etapa 2.2.13
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.13.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.2.13.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.2.13.3
Subtraia de .
Etapa 2.2.13.4
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.14
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 2.2.15
Multiplique por .
Etapa 2.2.16
Combine e .
Etapa 2.2.17
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.3
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
Some e .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 4.1.2.4
Combine e .
Etapa 4.1.2.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.1.2.6
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.6.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.6.2
Subtraia de .
Etapa 4.1.2.7
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 4.1.2.8
Combine e .
Etapa 4.1.2.9
Combine e .
Etapa 4.1.2.10
Multiplique por .
Etapa 4.1.2.11
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 4.1.2.12
Fatore de .
Etapa 4.1.2.13
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.13.1
Fatore de .
Etapa 4.1.2.13.2
Cancele o fator comum.
Etapa 4.1.2.13.3
Reescreva a expressão.
Etapa 4.1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.3
Multiplique por .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 5.3
Encontre o MMC dos termos na equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1
Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.
Etapa 5.3.2
O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.
Etapa 5.4
Multiplique cada termo em por para eliminar as frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
Multiplique cada termo em por .
Etapa 5.4.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.4.2.1.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.5
Resolva a equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1
Reescreva a equação como .
Etapa 5.5.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 5.5.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.5.2.2.2
Divida por .
Etapa 5.5.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.2.3.1
Divida por .
Etapa 5.5.3
Eleve cada lado da equação à potência de para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.
Etapa 5.5.4
Simplifique o expoente.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 5.5.4.1.1.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 5.5.4.1.1.2
Simplifique.
Etapa 5.5.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.4.2.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1
Aplique a regra para reescrever a exponenciação como um radical.
Etapa 6.1.2
Qualquer número elevado a é a própria base.
Etapa 6.2
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 6.3
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1
Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.
Etapa 6.3.2
Simplifique cada lado da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.1
Use para reescrever como .
Etapa 6.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 6.3.2.2.1.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.3.2.2.1.2
Simplifique.
Etapa 6.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 9.2
Multiplique por .
Etapa 10
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 11.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 11.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 11.2.2
Subtraia de .
Etapa 11.2.3
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1.1
Reescreva como .
Etapa 13.1.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 13.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 13.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 13.3
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 13.3.2
Multiplique por .
Etapa 13.3.3
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Etapa 13.4
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Indefinido
Etapa 14
Como há pelo menos um ponto com ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.1
Divida em intervalos separados em torno dos valores de que tornam a primeira derivada ou indefinida.
Etapa 14.2
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.2.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.2.2
A resposta final é .
Etapa 14.3
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.3.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.3.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.3.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.3.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 14.3.2.1.2
Divida por .
Etapa 14.3.2.2
Subtraia de .
Etapa 14.3.2.3
A resposta final é .
Etapa 14.4
Substitua qualquer número, como , do intervalo na primeira derivada para verificar se o resultado é negativo ou positivo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.4.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 14.4.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.4.2.1
Remova os parênteses.
Etapa 14.4.2.2
A resposta final é .
Etapa 14.5
Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de , então é um mínimo local.
é um mínimo local
Etapa 14.6
Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de , então é um máximo local.
é um máximo local
Etapa 14.7
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um máximo local
é um mínimo local
é um máximo local
Etapa 15