Cálculo Exemplos

Determina o máximo e mínimo absolutos no intervalo dado f(x) = square root of 9-x^2
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Use para reescrever como .
Etapa 1.2
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 1.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 1.4
Combine e .
Etapa 1.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 1.6
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.6.1
Multiplique por .
Etapa 1.6.2
Subtraia de .
Etapa 1.7
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.7.1
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 1.7.2
Combine e .
Etapa 1.7.3
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 1.8
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.9
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.10
Some e .
Etapa 1.11
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.12
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.13
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.13.1
Multiplique por .
Etapa 1.13.2
Combine e .
Etapa 1.13.3
Combine e .
Etapa 1.13.4
Fatore de .
Etapa 1.14
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.14.1
Fatore de .
Etapa 1.14.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.14.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.15
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 2.2
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 2.3
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.3.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.3.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 2.4
Simplifique.
Etapa 2.5
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.5.1
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.6
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.6.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.6.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.6.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.7
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 2.8
Combine e .
Etapa 2.9
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.10
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.10.1
Multiplique por .
Etapa 2.10.2
Subtraia de .
Etapa 2.11
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.11.1
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.11.2
Combine e .
Etapa 2.11.3
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 2.11.4
Combine e .
Etapa 2.12
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.13
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.14
Some e .
Etapa 2.15
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.16
Multiplique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.16.1
Multiplique por .
Etapa 2.16.2
Multiplique por .
Etapa 2.17
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.18
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.18.1
Combine e .
Etapa 2.18.2
Combine e .
Etapa 2.19
Eleve à potência de .
Etapa 2.20
Eleve à potência de .
Etapa 2.21
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.22
Some e .
Etapa 2.23
Cancele o fator comum.
Etapa 2.24
Reescreva a expressão.
Etapa 2.25
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 2.26
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.27
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.27.1
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.27.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.27.3
Some e .
Etapa 2.27.4
Divida por .
Etapa 2.28
Simplifique .
Etapa 2.29
Some e .
Etapa 2.30
Some e .
Etapa 2.31
Reescreva como um produto.
Etapa 2.32
Multiplique por .
Etapa 2.33
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.33.1
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.33.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.33.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.33.2
Escreva como uma fração com um denominador comum.
Etapa 2.33.3
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 2.33.4
Some e .
Etapa 2.34
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.35
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.35.1
Multiplique por .
Etapa 2.35.2
Some e .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
Use para reescrever como .
Etapa 4.1.2
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 4.1.3
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 4.1.4
Combine e .
Etapa 4.1.5
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 4.1.6
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.6.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.6.2
Subtraia de .
Etapa 4.1.7
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.7.1
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 4.1.7.2
Combine e .
Etapa 4.1.7.3
Mova para o denominador usando a regra do expoente negativo .
Etapa 4.1.8
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.9
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.10
Some e .
Etapa 4.1.11
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.12
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.13
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.13.1
Multiplique por .
Etapa 4.1.13.2
Combine e .
Etapa 4.1.13.3
Combine e .
Etapa 4.1.13.4
Fatore de .
Etapa 4.1.14
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.14.1
Fatore de .
Etapa 4.1.14.2
Cancele o fator comum.
Etapa 4.1.14.3
Reescreva a expressão.
Etapa 4.1.15
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Defina o numerador como igual a zero.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1.1
Aplique a regra para reescrever a exponenciação como um radical.
Etapa 6.1.2
Qualquer número elevado a é a própria base.
Etapa 6.2
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 6.3
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.1
Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.
Etapa 6.3.2
Simplifique cada lado da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.1
Use para reescrever como .
Etapa 6.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 6.3.2.2.1.1.2
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2
Reescreva a expressão.
Etapa 6.3.2.2.1.2
Simplifique.
Etapa 6.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.2.3.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 6.3.3
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 6.3.3.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.2.1
Divida cada termo em por .
Etapa 6.3.3.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 6.3.3.2.2.2
Divida por .
Etapa 6.3.3.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.2.3.1
Divida por .
Etapa 6.3.3.3
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 6.3.3.4
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.4.1
Reescreva como .
Etapa 6.3.3.4.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 6.3.3.5
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.3.3.5.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 6.3.3.5.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 6.3.3.5.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 6.4
Defina o radicando em como menor do que para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 6.5
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.1
Subtraia dos dois lados da desigualdade.
Etapa 6.5.2
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.2.1
Divida cada termo em por . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.
Etapa 6.5.2.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.2.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 6.5.2.2.2
Divida por .
Etapa 6.5.2.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.2.3.1
Divida por .
Etapa 6.5.3
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 6.5.4
Simplifique a equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.4.1
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.4.1.1
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 6.5.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.4.2.1
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.4.2.1.1
Reescreva como .
Etapa 6.5.4.2.1.2
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 6.5.4.2.1.3
O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre e é .
Etapa 6.5.5
Escreva em partes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.5.1
Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.
Etapa 6.5.5.2
Na parte em que é não negativo, remova o valor absoluto.
Etapa 6.5.5.3
Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.
Etapa 6.5.5.4
Na parte em que é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por .
Etapa 6.5.5.5
Escreva em partes.
Etapa 6.5.6
Encontre a intersecção de e .
Etapa 6.5.7
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.7.1
Divida cada termo em por . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.
Etapa 6.5.7.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.7.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 6.5.7.2.2
Divida por .
Etapa 6.5.7.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.5.7.3.1
Divida por .
Etapa 6.5.8
Encontre a união das soluções.
ou
ou
Etapa 6.6
A equação é indefinida quando o denominador é igual a , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a .
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 9.1.1.2
Multiplique por .
Etapa 9.1.2
Some e .
Etapa 9.1.3
Reescreva como .
Etapa 9.1.4
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 9.1.5
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1.5.1
Cancele o fator comum.
Etapa 9.1.5.2
Reescreva a expressão.
Etapa 9.1.6
Eleve à potência de .
Etapa 9.2
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.1
Fatore de .
Etapa 9.2.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.2.2.1
Fatore de .
Etapa 9.2.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 9.2.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 10
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 11.2.2
Multiplique por .
Etapa 11.2.3
Some e .
Etapa 11.2.4
Reescreva como .
Etapa 11.2.5
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 11.2.6
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 13.1.2
Multiplique por .
Etapa 13.2
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.1
Subtraia de .
Etapa 13.2.2
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.2.1
Reescreva como .
Etapa 13.2.2.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 13.2.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.2.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 13.2.3.2
Reescreva a expressão.
Etapa 13.2.4
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 13.2.5
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Etapa 13.3
A expressão contém uma divisão por . A expressão é indefinida.
Indefinido
Indefinido
Etapa 14
Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.
Nenhum extremo local
Etapa 15