Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ on $- 2$ , $2$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 4$ .

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Etapa 1.1.1.2.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

Etapa 1.1.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

Etapa 1.1.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 (x^{2} - 4) x$

Etapa 1.1.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

Etapa 1.1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

Etapa 1.1.1.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.3.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

Etapa 1.1.1.3.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

Etapa 1.1.1.3.3.3

Some $1$ e $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

Etapa 1.1.1.3.3.4

Multiplique $4$ por $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 16 x$ .

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Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore.

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Etapa 1.2.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 1.2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie ${(x^{2} - 4)}^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 - 4)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

${(- 4)}^{2}$

Etapa 1.4.1.2.3

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$16$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Etapa 1.4.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{2}$

Etapa 1.4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 1.4.3

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 1.4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Etapa 1.4.3.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{2}$

Etapa 1.4.3.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 1.4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 16), (- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

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Etapa 2.1

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{2}$

Etapa 2.1.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

${(4 - 4)}^{2}$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$0^{2}$

Etapa 2.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 16)$

Mínimo absoluto: $(- 2, 0), (2, 0)$

Etapa 4